Characteristic values and triangular factorization of the covariance matrix for multinomial, dirichlet and multivariate hypergeometric distributions and some related results

Zusammenfassung

Die drei im Titel genannten Verteilungen besitzen identische Kovarianz-Struktur. Die (k×k) Kovarianzmatrix ist eindeutig (bis auf einen Proportionalitätsfaktor) durch k positive Parameter bestimmt. Es wird gezeigt, daß die Eigenwerte dieser Matrix durch die Parameter separiert werden. Dies Resultat wird benutzt, um für Modelle mit der hier betrachteten Kovarianz-Struktur für die Residuen eine untere Schranke der (relativen) Effizienz des Kleinstquadrate-Schätzers mittels der Parameter zu formulieren. Zusätzlich werden einige andere Resultate, wie die Dreickszerlegung der Kovarianzmatrix und die Moore-Penrose-Inverse der “erweiterten” Matrix angegeben.

Summary

The three distributions mentioned in the title have identical covariance structure. The (k×k) covariance matrix is uniquely defined (up to a scale factor) by a set of k positive parameters and its characteristic values are separated by these parameters as shown in the paper. This result is used to obtain a lower bound of the (relative) efficiency of least squares in terms of the parameters when the covariance matrix of the error terms is of the structure as considered here. Some other results such as the triangular factorization of the matrix and the Moore-Penrose inverse of the ‘extended’ matrix are also given.

Résumé

Les trois distributions mentinonnées dans le titre ont une structure de covariance identique. La matrice de covariance (k×k) est déterminée de manière unique (à une constante près) par k paramètres positives. On montre que les valeurs propres de cette matrice sont séparées par les paramètres. Pour des modèles adhérant à cette structure de covariance ce résultat sert dans la suite à déterminer pour les résidus, au moyen des paramètres, une borne inférieure de l'efficience (relative) de l'estimateur des moindres carrés. On dèduit d'autres résultats, comme p.e. la décomposition triangulaire de la matrice de covariance et l'inverse de Moore-Penrose de la matrice “étendue”.

Резюме

Три названных в заглавии распределения имеют ту же структуру ковариантности. Катрица ковариантности (к×к) определяется однозначно посредством к положительных параметров (за исключением множителя пропорциональности). Показмвается, что собственные значения этой матрицы разделяются параметрами. Этот результат используется для того, чтобы для моделей с выше описанной структурой ковариантности, для вычетов определить помощью параметров нижнюю границу (относительной) зффективности оценцика наименьших квадратов. Дополнительно называютя нскоторые другие результаты как разложение треугольников матрицы ковариантностин и обратный элемент Мур-Пенроз “расширенной” матрицы.