Type I censoring and the structural approach

Zusammenfassung

Die statistische Auswertung von zensiertem Datenmaterial vom Typ I ist generell schwierig, da die Zahl der Beobachtungen selbst eine Zufallsgröße ist. In der vorliegenden Arbeit wurden verschiedene Konzepte der D. A. S. Fraser-Theorie bezüglich der strukturellen Auswertung angewandt, um nützliche Auswertungen des zensierten, Datenmaterials vom Typ I zu entwickeln, die normalerweise bei anderen Methoden nicht anwendbar sind. Es wurde nur der einfachste Fall betrachtet: n Größen werden getestet, die Ausfallzeiten registriert und der Versuch wird nach einer fixen Zeit T abgebrochen. Für die Lebensdauer wurde eine Verteilung gemäß,$(l/\sigma ^O )\bar f(*/\sigma ^O )$, σ^O>O angenommen. Für diesen Fall wird gezeigt, wie Signifikanztests für angenommene Werte σ^O ausgeführt werden können, Konfidenzintervalle für σ^O konstruiert werden, Maximum-Likelihood-Schätzungen$\hat \sigma ^{\rm O}$ für σ^O erhältlich sind und wie eine neue Zufallsvariable Σ definiert werden kann. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser neuen Variablen kann, in Abhängigkeit von$\hat \sigma ^{\rm O}$, von interessierten Lesern benutzt werden, um mögliche Werte der Zuverlässigkeitsfunktion einer Anzahl von Lebensdauern abzuschätzen, die$(l/\sigma ^O )\bar f(*/\sigma ^O )$ verteilt sind. Darüber hinaus werden ‘Vorhersage’-Verteilungen für N zukünftige Beobachtungen einer solchen Anzahl von Lebensdauern für die größte und kleinste von N zukünftigen Beobachtungen entwickelt und ebenso für die Zahl der Ausfälle aus einer gegebenen Zahl von Größen in einer gegebenen Zeit. Schließlich werden Ergebnisse für den speziellen Fall einer exponentiellen Verteilung angegeben und Vergleiche mit zwei numerischen Werten, nach D.J. Bartholomew, angestellt.

Summary

Statistical inference from Type I censored data is generally difficult because the number of observations is a random variable. In this paper, some of the concepts of D. A. S. Fraser’s theory of structural inference are applied to develop helpful inferences from Type I censored data not ordinarily available by other methods. Only the simplest case is considered: n items are put on test, the failure times are recorded, and the experiment is terminated after a fixed time T. The life times are assumed to be distributed according to$(l/\sigma ^O )\bar f(*/\sigma ^O )$, σ^O>O. For this case, it is shown how tests of significance of hypothesized values of σ^O may be performed, confidence intervals for σ^O constructed, maximum likelihood estimates$\hat \sigma ^{\rm O}$ for σ^O may be obtained, and a new random variable Σ defined, whose probability distribution, depending on$\hat \sigma ^{\rm O}$, some readers might wish to use to assess possible values of σ^O and possible values of the reliability function for a population of life times distributed as$(l/\sigma ^O )\bar f(*/\sigma ^O )$. In addition, “prediction” distributions are developed for N future observations from such a population, for the largest and smallest of N future observations, and for the number of failures among a given number of items in a given time. Finally results are given for the special case of an exponential distribution, and comparisons made with two numerical examples due to D. J. Bartholomew.

Résumé

L’inférence statistique à partier de données tronquées de type I est généralement difficile parce que le nombre d’observations est une variable aléatoire. Dans cet article, certains des consepts de la théorie de D. A. S. Fraser sur l’inférence structurelle sont appliqués afin de développer des inférences utiles à partir de données tronquées de type I, inférences qu’on ne peut ordinairement pas obtenir par d’autres méthodes. Seul le cas le plus simple est considéré: n articles sont testés, leurs temps de défaillance sont enregistrés et l’expérience se termine après un temps fixe T. On suppose que la durée de fonctionnement est distribuée selon$(l/\sigma ^O )\bar f(*/\sigma ^O )$, σ^O>O. Dans ce cas, on montre comment effectuer des tests d’hypothèses concernant σ^O, construire des intervalles de confiance pour σ^O, obtenir des estimateurs de vraisemblance maximale,$\hat \sigma ^{\rm O}$ pour σ^O et définir une nouvelle variable aleátoire Σ, dont la distribution de probabilités, qui depénd de$\hat \sigma ^{\rm O}$, peut être utilisée par certains pour évalueer les valeurs possibles de σ^O et les valeurs possibles de la fonction de fiabilité d’une population dont les durées de fonctionnement sont distribuées selon$(l/\sigma ^O )\bar f(*/\sigma ^O )$. De plus, des distributions de “prédiction” sont développées pour N observations futures à partir d’une telle population, pour la plus grande et la plus petite de N observations futures et pour le nombre de défaillances parmi un nombre donné d’articles dans un temps donné. Finalement, on présente des résultats comparaisons avec deux exemples numériques de D. J. Bartholomew.

Резюме

Статистическая оценка цензурованного материала данньх типа І трудная, так как само число набльденнй является случайной величиной. В этой работе применялись разные идеи из теории Д.А.С. Фрейзера, относящиеся к структурной оценке, с целью выработки полезных оценок цензурованного материала данных типа І, которых обычно невозможно получить применяя другие методы. Рассматривался самый простой случаи: n-Величян подвергается тесту, записываюваются времени простоя и попытка прекращается посяе установленного времени Т. Для продолжительности жизни принимается распределение согласно$(l/\sigma ^O )\bar f(*/\sigma ^O )$, σ^O > O. Для этого случая показывается, как возможно провести гипотетические тесты для значений σ^O, как создаются доверительные интервалы для σ^O, как получаются оценки максимум-Ляйклихуд$\hat \sigma ^{\rm O}$ для σ^O и как может определяться новая случайная величина Σ. Распределение вероятностей этой новой величины, зависящие от$\hat \sigma ^{\rm O}$ может использоваться некоторыми читателями для оценки возможных значений функции надежности для известного количества продолжительностей зизни, распределенных согласно$(l/\sigma ^O )\bar f(*/\sigma ^O )$. Сверх того вырабатываются распределения “пргноза” для и будущих наблюдений от такого числа продолжительностей жизни, для самого большого и малейшего наблюдения из N будущих наблюдении, а также для числа простоев из данного числа величин в данном времени. Наконец сообщаются резулы для специального случая показательного распределения и проводятся сравнения двух численных примеров согласно Д.й. Бартолёмю.