Sunto
Questo articolo ha un carattere puramente espositivo. Il problema che viene qui studiato è il seguente. SeM è un modulo destro e {N 1} è una famiglia di moduli sinistri sopra un anelloR, l'omomorfismo canonicoM ⊗ (II N 1) →II (M ⊗ N 1) non è in generale iniettivo. I moduli destriM per i quali questo omomorfismo è iniettivo per egui famiglia diR-moduli ainistri {N 1} sono dettiModuli di Mittag-Leffler. Innanzitutto vengono date varie caratterizzazioni dei moduli di Mittag-Leffler. Poi si dimostra che tutti gliR-moduli destri sono moduli di Mittag-Leffler se e solo se la dimensione pura globale destra diR si annulla (tutta la terminologia qui usata è spiegata in modo dettagliato nel seguito). Viene infine presentato un collegamento con gli anelli di tipo di rappresentazione finita.
Nessuno dei risultati enunciati viene presentato qui per la prima volta, ma di alcuni teoremi (Teorema 6, Lemma 7, Teoremi 8 e 11) si danno dimostrazioni diverse e più semplici di quelle attualmente esistenti in letteratura.
Summary
This paper has a purely expositive character. The following problem is studied. IfM is a right module and {N 1} is a family of left modules over a ringR, the canonical homomorphismM ⊗ (II N 1) →II (M ⊗ N 1) is not usually a monomorphism. The right modulesM for which it is a monomorphism for every family of leftR-modules {N 1} are calledMittag-Leffler modules. Firstly we give various characterizations of Mittag-Leffler modules. then we show that all rightR-modules are Mittag-Leffler modules if and only if the right pure global dimension ofR is zero (all the terminology we make use of is explained in detail in the paper). Finally a connection with the rings of finite representation type is shown.
None of these results is presented here for the first time, but we give proofs of some theorems (Theorem 6, Lemma 7, Theorems 8 and 11), which are different and easier than those existing in the literature at present.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Bibliografia
[1]Azumaya G., Facchini A.,Rings of pure global dimension zero and Mittag-Leffler modules. J. Pure Appl. Algebra 62 (1989), 109–122.
[2]Bourbaki N.,Topologie générale, Chap. II. Hermann, Parigi, 1971.
[3]Fuchs L.,Infinite abelian groups. Volume I, Academic Press, New York-Londra, 1970.
[4]Fuchs L., Salce L.,Modules over valuation domains. Marcel Dekker, New York e Basel, 1985.
[5]Grothendieck A.,Eléments de géométrie alyébrique. Publ. Math. I.H.E.S. 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32, Parigi.
[6]Gruson L., Jensen C. U.,Dimensions cohomologiques reliées aux foncteurs lim(1). Seminaire d'Algèbre P. Dubreil et M. P. Malliavin, Lecture Notes in Math. 867, pp. 234–294, Springer-Verlag, Berlino e New York, 1981.
[7]Lazard D.,Autour de la platitude. Bull. Soc. Math. France 97 (1969), 81–128.
[8]Lenzing H.,Endlich präsentierbare Moduln. Arch. Math. 20 (1969), 262–266.
[9]Prest M.,Rings of finite representation type and modules of finite Morley rank. J. Algebra 88 (1984), 502–533.
[10]Raynaud M., Gruson L.,Critères de platitude et de projectivité. Invent. Math. 13 (1971), 1–89.
[11]Simson D.,On pure global dimension of locally finitsly presented Grothendieck categories. Fund. Math. 96 (1977), 91–116.
[12]Warfield R. B.,Purity and algebraic compactness for modules. Pacific J. Math. 28 (1969), 699–719.
Author information
Authors and Affiliations
Additional information
(Conferenza tenuta il 12 aprile 1989)
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Facchini, A. Anelli di tipo di rappresentazione finita, di dimensione pura globale zero, e Moduli di Mittag-Leffler. Seminario Mat. e. Fis. di Milano 59, 65–80 (1989). https://doi.org/10.1007/BF02925293
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF02925293