Convergence properties for the Schrodinger equation

Sunto

Il lavoro è una rassegna di risultati recenti di convergenza q.o. della soluzioneu(x, t) dell’equazione di Schrödinger$\Delta u = i\frac{{\partial u}}{{\partial t}}$ conu(x, 0)=f(x), dovef appartiene alla classe di Schwartz

. La convergenza q.o. è dedotta da stime quali

$$\left( {\int\limits_B {(\mathop {Sup}\limits_{0< t< 1} |u(x,t)|)^2 dx} } \right)^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} \leqslant C_B \left\| f \right\|_{H_8 } $$

doveB è una ipersfera di

eH, denota lo spazio di Sobolev classico.

Summary

The paper is a survey of recent results on a.e. convergence of the solutionu(x, t) to the Schrödinger equation$\Delta u = i\frac{{\partial u}}{{\partial t}}$ andu(x, 0)=f(x) wheref belongs to the Schwartz class

. A.e. convergence is established via estimates of the kind

$$\left( {\int\limits_B {(\mathop {Sup}\limits_{0< t< 1} |u(x,t)|)^2 dx} } \right)^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} \leqslant C_B \left\| f \right\|_{H_8 } $$

whereB is a ball in

andH, denotes the classical Sobolev space.