On likelihood inference for the ratio of scale parameters

Zusammenfassung

Gegenstand dieser Betrachtung sind die Reaktionen auf zwei Meßmodelle mit verschiedenen Lage- und Dispersionsparametern. Die Inferenz über die Differenz zweier Lageparameter fand als sogenanntes Behrens-Fisher-Problem in der statistischen Literatur große Beachtung. Dagegen wurde die Inferenz des Verhältnisses von Dispersionsparametern bisher weitgehend vernachlässigt. Bei normal verteilten Stichproben basiert sie gewöhnlich auf dem Verhältnis der Stichprobenvarianzen.

Im vorliegenden Artikel werden die beiden Reaktionsreihen als verschiedene Lagetransformationen, aber gleiche Dispersionstransformation der beiden Fehlerreihen konstruiert, wobei die eine Reihe von ξ, dem Verhältnis der Dispersionsparameter, abhängt. Wir erhalten ein zusammengesetztes Reaktionsmodell mit einer Fehlergröße ξ (Fraser 1968, S. 192). Die Inferenz bezüglich ξ erfolgt natürlich auf der Grundlage der marginalen Likelihoodfunktion von ξ, die aus der marginalen Wahrscheinlichkeitsverteilung der Reaktionsbahn hervorgeht. Wir erhalten Ergebnisse sowohl für die Normalverteilung als auch für die negative Exponentialverteilung der Fehler.

Die hier angewandte Methode wurde von Fraser (1967, 1968) diskutiert. Haq (1970) verwendete die Methode der Inferenz über Autokorrelationsparameter 1. Ordnung.

Summary

The responses from two measurement models with different location and scale parameters have been consdiered. Inference about the difference between two location parameters is known as Behrens-Fisher-problem and has received considerable attention in statistical literature. However, inference about ratio of scale parameters has received limited attention and for normal samples is usually based on the ratio of sample variances.

In this paper the two sets of responses have been constructed as different location transforms, but same scale transform of two sets of error variables, the distribution of one set depending on ξ, the ratio of the scale parameters. The model thus obtained constitutes a composite response model with an error quantity ξ (Fraser 1968, p. 192). Inference concerning ξ is naturally based on the marginal likelihood function of ξ obtained from the marginal probability distribution of the orbit of the response. The results are specialised for normal error and negative exponential error distribution.

The method followed has been discussed by Fraser (1967, 1968). Haq (1970) followed the method for inference about the first order auto-correlation parameter.

Résumé

Nous considérons les réponses obtenues par deux modèles de mesurage avec paramètres de position et d’échelle différents. L’inférence sur la différence entre deux paramètres de position est connue en tant que problème de Behrens-Fisher et a reçu beaucoup d’attention dans la littérature statistique. Par contre, l’inférence sur le rapport des paramètres d’échelle a reçu d’attention limitée. Pour des échantillons normaux, elle se fonde normalement sur le rapport des variances des échantillons.

Dans cet article, deux ensembles de réponses sont construits par des transformations de position différentes, mais par la même transformation d’échelle des deux ensembles d’erreurs. La distribution de l’un des ensembles dépend de ξ, le rapport des paramètres d’échelle. Le modèle ainsi obtenu constitue un modèle composite de réponse avec une quantité d’erreur ξ (Fraser 1968, p. 192). L’inférence concernant ξ se fonde naturellement sur la fonction de vraisemblance marginale de ξ, obtenue de la distribution de probabilité marginale de l’orbite de la réponse. Les résultats sont spécialisés pour la distribution normale et pour la distribution à exposant négatif des erreurs.

La méthode suivie a été discutée par Fraser (1967, 1968) tandis que Haq (1970) suivait la méthode de l’inférence sur les paramètres d’autocorrélation de premier ordre.

Резюме

Предметом Этого анализа являются реакции двух моделей измерения с различными параметрами положения и щкалы. Вывод из различия между двумя параметрами положения известен как критерий Беренса-Фищера, которому уделялось больщое внимание в статистической литературе. Выводу из отнощения параметров щкалы, однако, уделялось ограниченное значение. В случае нормально распределенных выборок он обычно основывается на отнощении дисперсии выборки.

В настоящей работе оба ряда реакции конструируются во форме различных трансформаций положения но однородной трансформации дисперсии обоих рядов ощибок, при том один ряд зависит от отнощения параметров дисперсии ζ. Мы получаем составную модель реакции с количеством погрещности ζ (Фрезер 1968 г., стр. 192). Вывод, касаюшийся ζ, конечно основывается на предельной функции правдоподобия ζ, которая следует из предельного распределения вероятности траектории реакции. Мы получаем результаты также для нормального распределения как и для отрицательного распределения ощибок.

Представленный здесь метод был дискутирован Фрезером (1967 г., 1968 г.). Хак (1970 г.) следовал методу вывода из параметров автокорреляции первого порядка.