Problema misto e soluzioni quasiperiodiche dell’equazione delle onde

Sunto

Ricordate le principali proprietà delle funzioni quasi-periodiche a valori in uno spazio di Banach, si espongono alcuni recenti risultati concernenti l’analisi del problema misto, secondo Hadamard, per l’equazione non omogenea delle onde. In particolare si indicano i teoremi seguenti: I) tra tutte le soluzioni ad energia limitata, nel’intervallo — ∞ <t < + ∞, ne esiste una, e una sola, per cui l’estremo superiore dell’energia sia il più piccolo possibile (teorema di minimax); II) se il termine noto è quasi-periodico, ogni soluzione ad energia limitata è quasi-periodica.

Summary

After having recalled the principal properties of almost-periodic functions with values in a Banach space, some recent results regarding the analysis of the mixed problem, according to Hadamard, for the non homogeneous wave equation are given.

The following theorems are, in particular, indicated:

• I) Among all the solutions with bounded energy in — ∞ <t < ∞, there exists one, and only one, for which the 1. u. b. of the energy is the smallest possible (minimax theorem);

• II) If the known term is almost-periodic, then every solution with bounded energy is almost-periodic.