Nutzenaxiomatik und Theorie des Messens

Zusammenfassung

Präferenzbeziehungen in einer (kardinalen oder ordinalen) Nutzenfunktion zum Ausdruck zu bringen, ist ein altes Problem der Wertlehre. Das allgemeinere Problem des Messens, wie man nämlich Größen-, Intensitäts- und Bewertungsunterschiede in reelle Maßzahlen übersetzen kann, wurde in der jüngsten Zeit ausgiebig und lebhaft erördert. Die Zuordnung von Maßzahlen, eben das Messen, wird durch bestimmte Struktureigentümlichkeiten der Präferenzordnung ermöglicht, welche bei der Übertragung in die reellen Zahlenper constructionem bewahrt werden. Man faßt Struktureigenschaften, welche gemeinsam für die Meßbarkeit ausreichen, jeweils in ein Axiomensystem zusammen. Die vorliegende Arbeit will einen Überblick über die verschiedenen derartigen Axiomensysteme geben, die in der Literatur vorgeschlagen wurden, und vergleicht sie auf Ähnlichkeiten, logische Abhängigkeiten und wesentliche Unterschiede. Die hierbei verwendete axiomatische Methode ist für die heutige Mathematik kennzeichnend und hat sicher zum Aufschwung der Meßbarkeitsuntersuchungen beigetragen, die übrigens eine enge Verwandschaft mit den Fragen der Metrisierbarkeit topologischer Räume aufweisen.

Die Arbeit zerfällt in folgende Abschnitte:

1. Maßskalen

1.1 Relationen

1.2 Äquivalenzrelationen

1.3 Geordnete Mengen

1.4 Schwache Ordnung, Ordnungsskalen

1.5 Topologische Skala und metrische Skalen

2. Topologische (ordinale) Meßbarkeit

2.1 Topologische Räume

2.2 Topologische Meßbarkeit

3. Metrische Meßbarkeit

3.1 Paarvergleich (Abstandsmessung)

3.2 Stochastische Wahl und Unterschiedswelle

3.3 Metrische Verknüpfungen

3.4 Der Erwartungsnutzen der Entscheidungstheorie (Neumann-Morgenstern-Nutzen)

Axiomatisierung des Erwartungsnutzens nach Luce und Raiffa

Axiomatik des Erwartungsnutzens nach J. Marschak

Axiomatik nach Neumann und Morgenstem

Axiomatik nach Herstein und Milnor

3.5 Zerlegbarer Güterraum

Wo die Beweise der Meßbarkeitssätze (Theoreme 1 bis 8) nicht skizziert werden, wird auf das Literaturverzeichnis verwiesen.

Résumé

Exprimer des relations de préférence par une fonction d’utilité (cardinale ou ordinale) — c’est un ancien problème de la théorie de la valeur. Traduire les différences de taille, d’intensité ou de valeur en nombres réels, voici le problème plus général de mesurage, dont la discussion s’est épanouie et animée récemment. La possibilité de mesurer, c’est-à-dire d’attribuer un nombre comme mesure, peut être garantie par certaines propriétés structurelles de l’ordre de préférence, qui sont conservées sous l’application dans les nombres réelsper constructionem. On rassemble de telles propriétés de structure d’ordre, qui, ensemble, sont suffisantes pour la mésurabilité, dans un système d’axiomes. L’article présent veut donner une vue d’ensemble des divers systèmes proposés dans la littérature et étudier leurs ressemblances, dépendances logiques et différences essentielles. La méthode axiomatique y employée est un trait caractéristique de la mathématique contemporaine; elle a certainement contribué à l’essor des recherches de mesurabilité, qui montrent une étroite affinité avec le problème de métrisation des espaces topologiques.

L’article est composé des sections suivantes:

1. Echelles de mesure

1.1 Relations

1.2 Relations d’équivalence et échelle nominale

1.3 Ensembles ordonnés

1.4 Préordre, échelles ordinales

1.5 Echelle topologique et échelles métriques

2. Mesurabilité topologique (ordinale)

2.1 Espaces topologiques

2.2 Mesurabilité topologique

3. Mesurabilité métrique

3.1 Comparaison de couples (mesure d’écart)

3.2 Choix aléatoire et seuil minimum perceptible

3.3 Opérations métriques

3.4 L’utilité compatible avec l’expectation, dans la théorie de la

décision (utilité

de von Neumann et Morgenstem)

Les axiomes d’après Luce et Raiffa

Les axiomes de J. Marschak

Les axiomes de von Neumann et Morgenstem

Les axiomes d’après Herstein et Milnor

3.5 Espace de biens décomposable

En tant que les démonstrations des théorèmes de mesurabilité (Theorèmes 1–8) ne sont pas indiquées, l’auteur renvoye à la bibliographie.

Summary

To express preference relations with the help of a (cardinal or ordinal) utility function is an old problem of the theory of value. The more general problem of measurement, i.e. the problem of how to translate into real numbers differences in magnitude, intensity or valuation has been amply and vividly discussed in recent times. The assignment of real numbers (i.e. the measurement) becomes possible by virtue of certain structural properties of the preference ordering which by construction are conserved when the transformation into real numbers is made up. These structural properties that taken together guarantee measurability form a set of axioms. This paper is meant to provide a survey of the different sets of axioms that have been proposed in the pertinent literature, comparing them whith respect to similarities, logical dependences, and essential differences. The axiomatic method applied in this field is characteristic of modern mathematics and has certainly helped in stimulating research on problems of measurability. These exhibit, incidentally, some similarity to the problem of metrisation of topological spaces.

The paper is divided into the following paragraphes:

1. Scales of measurement

1.1 Relations

1.2 Equivalence relations and nominal scales

1.3 Ordered sets

1.4 Weak orders and order scales

1.5 Topological and metric scales

2. Topological (ordinal) measurability

2.1 Topological spaces

2.2 Topological measurability

3. Metric measurability

3.1 Comparison of pairs (measurement of distances)

3.2 Stochastic choice and just noticeable difference

3.3 Metric operations

3.4 The expected utility of decision theory (Neumann-Morgenstem-utility)

Axioms of Luce and Raiffa

Axioms of J. Marschak

Axioms of Neumann-Morgenstem

Axioms of Herstein and Milnor

3.5 Decomposable commodity space

Whenever proofs of the measurability theorems (theorems 1 to 8) are not indicated references are given to the literature.