Einige exakte und asymptotische Ergebnisse für das Standardmodell der Portefeuille-Auswahl innerhalb einer Periode

Zusammenfassung

Unter der Annahme konstanter Risikoaversion d.h. für die Nutzenfunktion u(x)=1−exp(−ηx), η>0, und der Annahme, daß die Erträge der Wertpapiere, aus denen das Portefeuille gebildet werden kann, voneinander stochastisch unabhängig verteilt sind, werden für verschiedene gebräuchliche Verteilungen (z.B. die Gammaverteilung und einige positive stabile Verteilungen) die optimalen Auswahlsätze bestimmt und diskutiert. Für einige Verteilungen (z.B. die logarithmische Normalverteilung) ist die Lösung nur asymptotisch d.h. nur für großes Vermögen des Investors bestimmbar.

Wird zusätzlich auch Bargeld als Anlageform zugelassen, so gilt für eine recht umfangreiche Klasse von Nutzenfunktionen (unter Einschluß der oben verwendeten Nutzenfunktion)

$$\mathop {\lim }\limits_{Y \to \infty } y_o^* /Y = 1,$$

, wobei y*₀ (0≤y*₀≤Y) der Betrag ist, den der Investor mit Vermögen Y als Bargeld hält.

Summary

This paper is concerned with the problem of determining the optimal portfolio choice for an investor with constant risk aversion, that is, for an investor with an utility function of the form u(x)=1−exp(−ηx), η>0. It is assumed he is required to make his choice from amongst n different assets whose returns per period may be described by n independent random variables. The optimal choice depends on the distribution of the random variables and in this paper the optimal choice is determined for certain familiar distributions, including the Gamma and the certain positive stable ones. For other distributions, including the log normal, only the asymptotic (for large initial capital) choice is obtainable.

Finally, the effect of including money as a possible asset is studied. It is shown that for a wide class of utility functions (including the one mentioned above) one has

$$\mathop {\lim }\limits_{Y \to \infty } y_o^* /Y = 1$$

where y*₀ (0≤y*₀≤Y) is the amount held in cash and Y is the initial capital.

Résumé

Cet article traite le problème de déterminer le choix de portefeuille pour un placeur avec constante aversion de risque, c’est-à-dire pour un placeur d’une fonction d’utilité de la forme u(x)=1−exp(−ηx), η>0. Il est supposé qu’il doit faire son choix parmi n effets différents dont le rendement par période peut être décrit par n variables aléatoires indépendentes. Le choix optimal dépend des distributions des variables aléatoires; dans cet article le choix optimal est déterminé pour certaines distributions connues, y compris celle de Gamma et certaines qui sont stable et positives. Pour d’autres distributions, y compris celle de la distribution gaussienne logarithmique, seulement le choix asymptotique (pour de larges fonds) peut être obtenu.

Finalement est discuté l’effet de comprendre de l’argent comme un placement possible. Pour une large class de fonctions d’utilité (y compris celle indiquée ci-dessus) est démontré:

$$\mathop {\lim }\limits_{Y \to \infty } y_o^* /Y = 1$$

où y*₀ (0≤y*₀≤Y) indique le montant en argent et Y le fonds initial.

Резюме

Предполагая константную аверсию риска т.е. для функции полезности и(x)=1-exp(−ηx ), η O, и предполагая, что доходы из ценных бумаг, нз которых может образоваться портфель, распределены стохастически независимо друг от друга,определяется и обсуждается оптимальный выбор для разных обычных распределений (напр, распределения Гамма и некоторых позитивных стабильных распределений). ДТля некоторых распределений (напр, для логарифмического нормального распределения) рещение является лищь асимптотическим, т.е.определимо лищь для больщого имушества инвестора.

Если как форму капиталовложений допускается дополнительно наличные, то для довольно больщого класса функций полезности (включая выще примененную функцию полезности)

$$\mathop {\lim }\limits_{Y \to \infty } y_o^* /Y = 1,$$

причем y_o* (0⩽y_o⩽Y) является суммой, которая у инвестора вместе с имушеством Y как наличные.