A test of goodness of fit

Zusammenfassung

Die Autoren schlagen einen neuen Anpassungstest für die einfache Nullhypothese vor, daß die tatsächliche Verteilung gleich einer gegebenen, überall stetigen Verteilungsfunktion ist. Im Sinne derNeyman-Pearson’schen Theorie erhalten sie einen Test, der (a) »bedeutungsvoll« auch ohne Bezugnahme auf irgendeine bestimmte Menge von Alternativen ist, und der (b) auf der Tatsache beruht, daß man größeren Diskrepanzen zwischen beobachteten Anzahlen und theoretischen Wahrscheinlichkeiten zu mißtrauen neigt. Die Autoren zeigen außerdem, daß ihr Test mit einem (durch den mittleren Informationsindex vonKullbach undLeiber definierten) Pseudo-Abstand zwischen zwei Verteilungen verbunden ist. Schließlich vergleichen sie ihren Test mit den üblichen Methoden, nämlich dem Chiquadrattest, dem Test vonKolmogoroff und zwei Modifikationen des letzteren. Alle Verfahren werden auf Daten angewandt, die vonDurbin veröffentlicht wurden.

Summary

The authors propose a new test of goodness of fit for the simple null hypothesis that the actual distribution is equal to a given, everywhere continuous distribution function. Under theNeyman-Pearson setup they obtain a test which (a) is meaningful without reference to any specific set of alternatives, and (b) is based on the fact we tend to dis-believe tall scores for improbable events. They also show that their test is connected with a pseudo distance between two distribution functions defined in terms of theKullback-Leiber mean information index. Finally, they compare their test with the standard procedures, viz. chi-square test,Kolmogorov’s test and two modifications of the latter, applying all of them to data published byDurbin.

Résumé

Les auteurs proposent un nouveau test de validité de l’ajustement pour la simple hypothèse nulle que la distribution effective soit égale à une fonction de distribution donnée, qui est partout continue. Dans le sens de la théorie deNeyman-Pearson ils obtiennent un test qui (a) est significatif sans référence à aucun ensemble spécifique d’alternatives et (b) est fondé sur le fait que nous sommes enclins à nous défier de disparités majeures entre nombres observés et probabilités théoriques. De plus, les auteurs démontrent que leur test est lié à une pseudo-distance entre deux fonctions de distribution (définies en termes de l’indice moyen d’information deKullback-Leiber). Finalement ils comparent leur test aux procédés habituels, c-est à dire, au test χ², au test deKolmogoroff et à deux modifications de celui-ci, en appliquant tous aux données publiées parDurbin.

Резюме

Авторы предлагают новую проверку соответствия для простой нульевой гипотезы в том смысле, чтобы фактическое распределение было равным заданной везде непрерывной функции распределения. В смысле теории Неймана-Пирсона они получают проверку гипотез, которая а) «значима» даже если она не ссылается на какого-нибудь определенного множества альтернатив и которая б) основывается на склонности недоверять более сушественным несоответствиям между наблюдаемыми величинами и теоретическими вероятностями. Кроме Этого авторы показывают, что проверка гипотез связана со псевдорасстоянием между двумя распределениями (дефинированным Кульбахом и Лейбером при помоши среднего информационного индекса). В заключение они сравнивают свою проверку гипотез с обычными методами, а именно с критерием χ², с критерием Колмогорова и двумя модификациями последнего. Все приемы принимаются к опубликованным Дюрбиным данным.