Wahrscheinlichkeit und Ausmaß der Transvariation imn-dimensionalen Raum

Zusammenfassung

Das Ziel dieses Beitrags ist es, einen von Corrado Gini eingeführten statistischen Begriff zu analysieren, nämlich den der Transvariation. Das Phänomen der Transvariation tritt dann auf, wenn die Differenz zwischen den an zwei Individuen aus verschiedenen Gesamtheiten gemessenen Werten eines quantitativen Merkmals das entgegengesetzte Vorzeichen hat wie die Differenz zwischen den typischen Werten (z. B. den Mittelwerten oder den Medianwerten) der zwei Gesamtheiten. Die Theorie der Transvariation wird in einer sehr allgemeinen Form dargestellt, d. h. zwischen zwei (und später sogar zwischen mehreren)n-dimensionalen Verteilungen; das bedeutet, daß gleichzeitign Merkmale beobachtet werden.

Der Autor definiert zuerst die Transvariation, welche ein Zufallsereignis ist, und danach die Transvariabilität, welche die Wahrscheinlichkeit jenes Ereignisses ist (man nimmt an, daß die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der zwei Gesamtheiten bekannt seien). Sodann führt er die Wahrscheinlichkeit der Transvariation ein, die ein standardisiertes Maß der Transvariabilität ist und ihre Werte in einem festen Intervall annimmt, und schließlich das Moment und die Intensität der Transvariation. Diese Begriffe werden auch unter der Annahme untersucht, daß dien Komponenten der (n-dimensionalen) Zufallsveränderlichen unabhängig und normalverteilt sind. Der Autor stellt noch eine Methode dar, um dien-dimensionalen Veränderlichen durch eine lineare Transformation auf ein-dimensionale Variablen zu reduzieren, von denen man die Parameter der Transvariation berechnen kann, was eine beträchtliche Vereinfachung der Rechenarbeit mit sich bringt.

Wenn man die Theorie der Transvariation auf empirische Beobachtungen anwendet, so erhält man nur Schätzungen der Wahrscheinlichkeit, des Momentes und des Ausmaßes der Transvariation. Diese Werte sind Zufallsveränderliche, die von den Schwankungen in der Stichprobe abhängen. Unter gewissen Annahmen gibt der Verfasser Formeln für Mittelwert und Streuung dieser Schätzungen an, damit man sie dem statistischen Schluß zuführen kann. Schließlich berichtet der Autor von den Ergebnissen einer ausgedehnten Anwendung der Transvariationstheorie auf die industrielle Struktur der Republik Argentinien in den Jahren 1955, 1956 und 1957, welche 83 Industriezweige erfaßte und vier Merkmale in jedem Zweig betrachtete (d. h.n=4).

Summary

The purpose of this contribution is an analysis of a statistical concept introduced by Corrado Gini, viz. the transvariation. The phenomenon of transvariation occurs, when the difference between two values of two different variates has a sign opposite to that of the difference between the typical values (e. g. the means or medians) of the two populations. The theory of transvariation is presented in a very general form, i. e. between two (and later even between several)n-dimensional distributions, which amounts to observingn variates simultaneously at the same time.

The author defines transvariation first, which is a stochastic event, and then transvariability, which is the probability for that event (the probability distributions of the two populations are assumed to be known). Afterwards he introduces the probability of transvariation, which is a standardized measure of transvariability and takes values in a fixed interval, and finally the moment and the intensity of transvariation. The same notions are examined under the assumption that then components of the (n-dimensional) random variables are independent and normally distributed. The author explains a method for reducing then-dimensional variables by a linear transformation to one-dimensioned variables, whose parameters of transvariation may be computed, which brings about a considerable simplification of the computational task.

In applications of transvariation theory to empirical observations, we obtain but estimations for the probability, the moment and the intensity of transvariation. These quantities are stochastic variables fluctuating with the sample. Under certain assumptions the author can give formulas for the means and variances of these estimations, so that they can be used in statistical inference. Finally, the author summarizes the results of a vast application of transvariation theory to the industrial structure of the Argentine Republic in the years 1955, 1956 and 1957, comprising 83 industrial branches and considering 4 variables to describe the branches (i. e.n=4).

Résumé

L’objet de cette contribution est une analyse d’un concept statistique introduit par Corrado Gini, à savoir celui de la transvariation. Le phénomène de la transvariation se montre, si la différence entre les mesures d’un caractère quantitatif de deux sujets appartenant à des populations différentes est de signe opposé à celui de la différence entre les valeurs typiques (par exemple les moyennes ou les médianes) des deux populations. La théorie de la transvariation est exposée d’une manière très générale, c’est-à-dire entre deux (et plus tard même entre plusieurs) distributionsn-dimensionnelles, ce qui correspond à l’observation simultanée den caractères.

L’auteur définit d’abord la transvariation, qui est un événement aléatoire, et ensuite la transvariabilité, qui est la probabilité de cet événement (on suppose connues les distributions de probabilité des deux populations). Après il introduit la probabilité de transvariation, qui est une mesure standardisée de la transvariabilité et prend ses valeurs dans un intervalle fixe, et enfin le moment et l’intensité de transvariation. Ces notions sont aussi examinées sous l’hypothèse que lesn composantes des variables aléatoires (n-dimensionnelles) sont indépendantes et normalement distribuées. L’auteur présente une méthode pour réduire les variablesn-dimensionnelles par une transformation linéaire à des variables unidimensionnelles, dont on peut calculer les paramètres de transvariation, ce qui a pour conséquence une considérable simplification du calcul numérique.

En appliquant la théorie de la transvariation aux observations empiriques, on n’obtient que des estimations de la probabilité, du moment et de l’intensité de transvariation. Ces valeurs sont des variables aléatoires qui dépendent de la fluctuation dans l’échantillonnage. Sous certaines hypothèses, l’auteur donne des formules pour la moyenne et la variance de ces estimations, afin que l’on puisse les soumettre à l’inférence statistique. Enfin l’auteur résume les résultats d’une vaste application de la théorie de la transvariation à la structure industrielle de la République Argentine dans les années 1955, 1956 et 1957, comprenant 83 branches d’industrie et considérant 4 caractères de chaque branche (c’est-à-diren=4).

РЕЖУМЕ

Содержанием Этой статьи является анализ введенного Коррадо Джини статистического понятия трансвариации. Феномен трансвариации обнаруживается, когда разность значений одного и того же признака двух индивидуумов, принадлежаших к различным совокупностям, и разность типичных значений (на пример средних или медианных точек) двух совокупностей имеют противоположные знаки. Теория трансвариации изображается в обших чертах, т. е. между двумя (и позже даже между несколькими) п-мерными распределениями, что обозначает одновременное наблюдение п-ых признаков.

Автор сперва определяет трансвариацию как случайное явление и затем трансвариабильност ь, являюшуюся вероятностью Этого явления (полагают, что распределения вероятностей Этих двух совокупностей известны). После Этого он вводит понятие вероятности трансвариации, которая является стандардизированно й мерой трансвариабильност и и принимает ее значения в определенном интервале, и в конце концов момент и интенсивность трансвариации. Ёти понятия также исследуются при предположении, что п-ые компоненты (п-мерных) стохастических переменных независимы и нормально распределены. Автор указывает еше на один метод преврашения п-мерных переменных путем линеарной трансформации в одномерные переменные, параметры трансвариации которых исчислимы, что представляет собой значительное упрошение подсчета.

При применении теории трансвариации к Эмпирическим наблюдениям получаются только оценки вероятности, момента и размера трансвариации. Ёти значения являются случайными переменными, зарисяшими от колебаний состава выборки. При определенных предположениях автор дает формулы среднего и рассеяния Этих оценок с целью сделать статистическое заключение. В конце концов, автор сообшает о результатах охвативщего 83 отрасли промыщленности и исследовавщего 4 признака каждой отрасли (т. е. п=4) применения в щироком масщтабе теории трансвариации к промыщленной структуре Республики Аргентины в 1955,1956 и 1957 годах.