Lineare und nichtlineare Schätzfunktionen in der Stichprobentheorie

Zusammenfassung

X₁, x₂, … x_N seien die Werte, die den Elementen 1, 2, … N einer Grundgesamtheit durch ein spezielles Merkmal zugeordnet sind. Wir nehmen an, es sei ein Auswahlverfahren p festgelegt, und betrachten die Klasseα _p aller Schätzfunktionen für x=Σx_i, die bei Verwendung von p unverzerrt sind; wir schreibenα ¹_p für die Klasse der linearen Schätzfunktionen ausα _p undα ^s_p für die Klasse der symmetrischen Schätzfunktionen ausα _p.

Es läßt sich eine lineare symmetrische Schätzfunktion angeben, die effizienter ist als alle anderen Elemente vonα ¹_p ∩α ^s_p , sofern p gewisse Symmetrieeigenschaften aufweist; das Ziehen einer festen Zahl von Elementen ohne Zurücklegen genügt diesen Symmetriebedingungen, das Ziehen einer festen Zahl mit Zurücklegen dagegen nicht.

Wir zeigen weiter, daßα ¹_p ∩α ^s_p nicht vollständig ist bezüglichα ^s_p , wenn p für das n-malige Ziehen mit Zurücklegen steht, und daßα ¹_p nicht vollständig ist bezüglichα _p, wenn p n-maliges Ziehen ohne Zurücklegen bedeutet.

Summary

Let x₁, x₂, … x_N be the values of a variate for the elements 1, 2, … N of a population. Suppose a sampling design p has been chosen and consider the classα _p of all estimators for x=Σ x_i, which are unbiassed under p, the classα ¹_p of all linear estimators inα _p and the classα ^s_p of all symmetric estimators inα _p.

We give an estimator being more efficient than all estimators inα ¹_p ∩α ^s_p as long as p is symmetric in a certain sense; drawing a fixed number of elements without replacement is symmetric in this sense, drawing a fixed number with replacement is not.

We further show thatα ¹_p ∩α ^s_p is not complete with respect toα ^s_p , if p means sampling with replacement, and thatα ¹_p is not complete with respect toα _p, if p means sampling without replacement.

Résumé

Soient x₁, x₂, … x_N les valeurs d’ une variable en étude pour les éléments 1, 2, … N d, une population. Nous supposons qu’ une méthode p de tirer un échantillon soit fixée et désignons parα _p l’ ensemble des estimateurs non biaisés pour x=Σ x_i, parα ¹_p l’ ensemble des estimateurs linéaires et parα ^s_p l’ ensemble des estimateurs symétriques qui sont éléments deα _p.

Nous construisons un estimateur linéaire et symétrique qui est plus efficient que tout autre élément deα ¹_p ∩α ^s_p , pourvue que p soit symétrique; tirer un échantillon au sort à la manière des boules d’ une urne sans remise est symétrique d’ après notre définition de symétrie, tirer avec remise n’ est pas symétrique.

Nous prouvons en plus: L’ ensembleα ¹_p ∩α ^s_p n’ est pas complet par rapport àα ^s_p si p signifie le tirage d’ un échantillon au sort avec remise;α ¹_p n’ est pas complet par rapport àα _p si p signifie le tirage sans remise.

Резуме

Например X1, X2, … хN — стоимости, которые при помоши специальной приметы присоединяются Элементам 1, 2, … N основной совокупности. Предполагаем, что был установлен метод выбора р и занимаемся классом а_p всех функции оценки для X = Σ x₁ которые при применении р не искажаются. Мы пищем α ¹_p для класса линейных функции оценки из α_p и α ^s_p для класса симметрических функции оценки из α_p.

Возможно образовать линейную симметрическую функцию оценки, которая еффективнее всех других Элементов от α ¹_p ∩ α ^s_p , поскольку р имеет известные свойства относительно симметрии выбор уверенного числа Элементов без откладывания удовлетворяет условиям симметрии напротив выбор уверенного числа с откладыванием не удовлетворяет условиям симметрии. Дальнее мы показываем, что α ¹_p ∩ α ^s_p — неполное относительно α ^s_р , если р означает Ы-кратный выбор с откладыванием, и что α_p неполное относительно α_p, если р означает N-кратный выбор без откладывания.