Existence of a convex extension of a preference relation

Abstract

In this paper we say that a preference (i.e. irreflexive) relationP isregular (or aweak order) if both it and its non-comparability relation are transitive; we also say that a preference relationP ^* is aconvex extension of another preference relationP ifP⊆P ^* holds andP ^* is regular and convex-valued. We prove that a convex extension ofP exists if and only if every non-empty and finite set of alternativesA is not included in the convex hull of ∪ _x∈A P(x).

Riassunto

In questo lavoro diciamo che una relazione di preferenza (ossia irriflessiva)P èregolare (o unordinamento debole) se tanto essa quanto la sua relazione di non paragonabilità sono transitive; diciamo anche che una relazione di preferenzaP ^* costituisce un'estensione convessa di un'altra relazione di preferenzaP se vale l'inclusioneP⊆P ^* eP ^* è regolare ed a valori convessi. Provereino che un'estensione convessa dellaP esiste se e solo se ogni insieme non vuoto e finito di alternativeA non è incluso nell'involucro convesso dell'insieme ∪ _x∈A P(x).