Operators for symmetry transformations in canonically quantized field theories

Summary

The construction of symmetry operators in quantum field theory is analysed from the viewpoint of formal power series in the quantum fields and conjugate momenta. In the first part, the operator generators for a one-parameter continuous group of symmetries are derived in a manner allowing a somewhat wider application than does Noether’s theorem. The second part deals with discrete symmetries, and in particular with the limitations on the applicability of exponential expressions for operators for discrete symmetries. It is emphasized that any symmetry operator expressible as the exponential of a time-independent anti-Hermitian operator which is a finite power series in the fields and conjugate momenta has an immediate natural extension to a continuous symmetry group. The operators proposed by Federbush and Grisaru for some «discrete» symmetries are investigated as to the continuous embedding symmetry groups of which the operators are elements.

Riassunto

Si analizza la costruzione degli operatori di simmetria nella teoria quantistica dei campi dal punto di vista delle serie formali di potenze dei campi quantici e degli impulsi coniugati. Nella prima parte si deducono i generatori degli operatori per un gruppo continuo di simmetrie ad un parametro in un modo che consente un’applicazione alquanto più ampia di quella consentita dal teorema di Neother. Nella seconda parte si trattano le simmetrie discrete ed in particolare le limitazioni all’applicabilità delle espressioni esponenziali per gli operatori agenti sulle dimmetrie discrete. Si mette in rilievo che ogni operatore di simmetria esprimible come esponenziale di un operatore antihermitlano indipendente dal tempo che è una serie finita di potenze dei campi e degli impulsi coniugati ha una immediata estensione naturale ad un gruppo continuo, di simmetrie. Si studiano gli operatori proposti da Federbush e Grisaru per alcune simmetrie «discrete» per quanto riguarda i gruppi continui di simmetria incastonanti di cui gli operatori sono elementi.