О функциях, удовлетворяюших ослабленному условию асимптотической моногенности

Реэюме

В статье рассматриваются функцииf(z) одного комплексного переменного, которые удовлетворяют ослабленному условию асимптотической моногенности, а именно, для некоторого положительногоσ<1/2 являются моногенными в каждой точкеξ относительно некоторого множестваG(ξ) нижняя плотность которого вξ больще 1/2+σ. Докаэано, что если функция log⁺|f(z)| суммируема относительно плоской меры Лебега в некоторой степениp _σ ≥1, то функцияf(z) голоморфна.

Abstract

We consider functionsf(z),z∈D, of one complex variable that satisfy the following weakened asymptotic monogeny condition: for some positiveσ<1/2,f(z) is monogenic at each pointξ∈D with respect to some setG(ξ) such that the lower density ofG(ξ) atξ is greater than 1/2+σ. We show that if for somep _σ ≥1 the function (log⁺|ƒ(z)|)^p _σ is locally integrable inD with respect to the plane Lebesgue measure, thenf(z) is holomorphic inD.