Sopra un problema di Darboux della meccanica dei mezzi continui

Riassunto

Siano: $X = \frac{{\partial ^U }}{{\partial ^x }},Y = \frac{{\partial ^U }}{{\partial y}},Z = \frac{{\partial ^U }}{{\partial ^z }},$ le formule che definiscono una deformazione di un mezzo continuo;x, y, z; X, Y, Z, denotano coordinate cartesiane ortogonali dei punti del corpo nello stato inizialeS e nello stato finaleS′. Allora vi sono inS (almeno) tre elementi lineari, che formano un triedro rettangolare—triedro principale, seguendo una denominazione diDarboux —ai quali corrispondono, nel mezzoS′, tre elementi lineari paralleli. Se si vuole—problema diDarboux—che le facce del triedro principale siano tangenti a tre famiglie di superficie in ogni punto del mezzo nella configurazioneS, è necessario e sufficiente che la funzioneU soddisfi ad una equazione a derivate parziali del terzo ordine. Con riferimento a coordinate curvilinee oblique, l'Autore stabilisce il risultato delDarboux facendo uso di un metodo che egli ha adoperato per risolvere una questione analoga in una precedente ricerca.

Résumé

Soient: $X = \frac{{\partial ^U }}{{\partial ^x }},Y = \frac{{\partial ^U }}{{\partial y}},Z = \frac{{\partial ^U }}{{\partial ^z }},$ les formules qui definissent une déformation d'un milieu continue;x, y, z; X, Y, Z, désignent les coordonnées rectangulaires des points du corps dans l'état initialS et dans l'état finalS′. Alors il y a dansS (au moins) trois éléments linéaires qui forment un trièdre trirectangle—trièdre principale, en suivant une dénomination deDarboux—auxquels correspondent dans le milieu déforméS′ trois éléments linéaires parallèles. Si ont veut—problème de Darboux—que les faces du trièdre principale s'ordonnent suivant les plans tangents à trois familles de surfaces aux différents points du milieuS, il faut et il suffit que la fonctionU satisfait à une équation aux dérivées partielles du troisième ordre. En rapportant les points du milieuS à un système de coordonnées curvilignes obliques, l'Auteur de cette Note établit le résultat deDarboux en suivant une méthode qu'il a employé dans une précédente recherche pour résoudre una question analogue.