Eigenfunctions of the invariant differential operators on symmetric spaces havingA ₂ as a restricted root system

Summary

We study the eigenfunctions$p_{nm}^\mu (z,\bar z),n,m \in N,\mu \in ( - \tfrac{1}{3}, + \infty ),z \in C$, of two differential operators, which for some particular values of Μ are the generators of the algebra of invariant differential operators on symmetric spaces, havingA ₂ as a restricted root system. We give the group-theoretic interpretation and the explicit form of these functions as polynomials of$z, \bar z$ in the following cases: when, μ = 0, 1 ∀n,m ∈N; whenm = 0, ∀n ∈N and$\forall \mu \in ( - \tfrac{1}{3}, + \infty )$. Furthermore, we write explicitly all solutions$p_{nm}^\mu (z, \bar z) \forall \mu \in ( - \tfrac{1}{3}, + \infty )$ andn +m≤ 5. This research has applications in quantum mechanics and in quantum field theory.

Riassunto

Studiamo le autofunzioni$p_{nm}^\mu (z,\bar z),n,m \in N,\mu \in ( - \tfrac{1}{3}, + \infty ),z \in C$, di due operatori differenziali, che per alcuni particolari valori di Μ sono i generatori dell’algebra degli operatori differenziali invarianti negli spazi simmetrioi che hannoA ₂ come sistema di radici ristretto. Interpretiamo queste funzioni dal punto di vista della teoria dei gruppi e diamo la loro forma esplicita oome polinomi in$z, \bar z$ nei seguenti casi: quando μ = 0, 1, ∀_n,m ∈N; quandom = 0, ∀_n ∃N e$\forall \mu \in ( - \tfrac{1}{3}, + \infty )$. Inoltre scriviamo esplieitamente tutte le soluzioni$p_{nm}^\mu (z, \bar z) \forall \mu \in ( - \tfrac{1}{3}, + \infty )$ en + m ≤ 5. Questa ricerca ha interessanti applicazioni in meceanica quantistica e in teoria dei campi.

РЕжУМЕ

Мы ИсслЕДУЕМ сОБстВЕ ННыЕ ФУНкцИИ$p_{nm}^\mu (z,\bar z),n,m \in N,\mu \in ( - \tfrac{1}{3}, + \infty ),z \in C$, ДВУх ФУНкцИОНАльНых ОпЕРАтОРОВ, кОтОРыЕ п РИ НЕкОтОРых жНАЧЕНИьх Μ ьВльУтсь гЕНЕРАтОРАМИ АлгЕБР ы ИНВАРИАНтНых ДИФФЕ РЕНцИАльНых ОпЕРАтОРОВ НА сИММЕтРИЧНых пРОстВ АНстВАх, ИМЕУЩИх А₂, кА к ОгРАНИЧЕННУУ кОРЕНН ОИ сИстЕМУ. Мы пРЕДлАгАЕМ ИНтЕРп РЕтАцИУ НА ОсНОВЕ тЕО РИИ гРУпп И пРИВОДИМ ьВНыИ ВИД ЁтИх ФУНкцИИ, кАк пОлИ НОМОВ$z, \bar z$ В слЕДУУЩИх сл УЧАьх: кОгДА Μ = 0, 1, ∀n, m ∃ N; кОгДА т = 0, ∀n Е N И$\forall \mu \in ( - \tfrac{1}{3}, + \infty )$. кРО МЕ тОгО Мы ВыпИсыВАЕМ В ьВНОМ ВИДЕ ВсЕ РЕшЕНИь$p_{nm}^\mu (z, \bar z) \forall \mu \in ( - \tfrac{1}{3}, + \infty )$ И п + т≤ 5. пРЕДлОжЕННыИ пОДхОД МОжЕт Быть пРИМЕНИМ В кВАНт ОВОИ МЕхАНИкЕ И В кВАН тОВОИ тЕОРИИ пОль.