Inverse problem for fractal sets on the real line via the moment method

Summary

For the linear Cantor systems (LCS) with a single scale it is shown that the moments of the measure can be transformed into a new set of moments for an atomic mesure. Given this second set of moments a LCS equivalent to the original one is determined. The method is then used to recontruct a LCS with an arbitrary number of scales whose measure or its moments are given. The solution is not unique, but at any order the best solution corresponds to the LCS whose measure is the closest to the given measure; a convergence theorem for the sequence of best approximating measures is given.

Riassunto

Per i sistemi di Cantor lineari con un’unica scala (LCS) si dimostra che i momenti della misura possono venire trasformati in un nuovo insieme di momenti per una misura atomica. Dato questo secondo insieme di momenti, è possibile determinare un LCS equivalente all’originale. Il metodo viene esteso alla ricostruzione di un LCS con un numero arbitrario di scale di cui sono noti la misura o i momenti. La soluzione non è unica, ma ad ogni ordine la soluzione migliore corrisponde al LCS la cui misura è la piú vicina a quella assegnata; viene dato un teorema per la successione delle misure approssimanti migliori.

Резюме

Для линейных систем Кантора с одним масштабом показывается, что моменты измерения могут быть трансформированы в новую систему моментов для атомных размеров. Определяется, что эта вторая система моментов линейных систем Кантора эквивалентна первоначальной системе. Затем предложенный метод используется для реконструирования линейных систем Кантора с произвольным числом мамштабов, если размеры которых или их моменты заданы. Решение не является единственным, но в любом порядке наилучшее решение соответствует линейным системам Кантора, размер которых оказывается наиболее близким к заданному размеру. Приводится теорема сходимости для последовательности наилучших приближенных измерений.