Existence of KAM tori for four-dimensional volume-preserving maps

Summary

We study a four-dimensional volume-preserving map with two parameters. In the parameter plane, we compute the regions of linear stability for periodic orbits with winding numbersp _n/r_n andq _n/r_n, which are rational approximants of a cubic irrational «KAM», pair (α₁, α₂). Our numerical results suggest that these stable regions converge to a limit region when the order,n, of the rational approximation increases. For parameter values in this limit region, there would exist a KAM torus with winding numbers (α₁, α₂). The rate of convergence of the stable regions or their boundaries does not appear to be very predictable,i.e. there seems to be no scaling.

Riassunto

Si studia una mappa che conserva il volume a quattro dimensioni con due parametri. Nel piano dei parametri si calcolano le regioni di stabilità lineare per orbite periodiche con numeri di girip _n/r_n eq _n/r_n, che sono approssimanti razionali di un paio di «KAM», irrazionale cubico (α₁, α₂). I nostri risultati numerici suggeriscono che queste regioni stabili convergono ad una regione limite quando l’ordine,n, dell’ approssimazione aumenta. Per valori di parametri in questa regione limite, esisterebbe un toro KAM con numeri di giri (α₁, α₂). La velocità di convergenza delle regioni stabili o dei loro confini non appare essere prevedibile, cioè non sembra esserci misurazione in scala.

Резюме

Мы исследуем четырехмерные отображения, сохрахяющее обьем с двумя параметрами. В плоскости параметров мы определяем области линейной устойчивости для периодических орбит с числами обмоткиp _n/r_n иq _n/r_n, которые являются рациональными приближениями для кубической иррациональной «KAM» пары (α₁, α₂). Наши численные результаты предполагоют, что эти области устойчивости сходятся к предыльнои области, когда порядок,n, рационального приближения увеличивается. Для значений параметров в этой предельной области существует тор KAM с числа обмотки (α₁, α₂). Бистрота сходимости областей устойчивости и их границы, по-видимому, являются не очень предсказуемыми, т.е., по-видимому, не существует подобия.