The kinematics of generator co-ordinates

Summary

The generator co-ordinate approach is used to construct a collective subspace of the full many-body Hilbert space. The construction has a purely kinematical character, given the apriori (e.g. phenomenological) specification of a set of generator many-body states. It is based on the analysis of the properties of the overlaps of the generator states and on the use of the standard spaces of square-integrable functions of quantum mechanics. Some well-known misbehaviours of the generator co-ordinate weight functions are clearly identified as of kinematical origin. A standard representation in the collective phase space is introduced which eliminates them. It is also indicated how appropriate collective dynamical variables can be defined aposteriori. Hilbert-Schmidt overlap kernels and the Gaussian overlap approximation are treated as special examples.

Riassunto

Si usa l’approccio delle coordinate generatrici per costruire un sottospazio collettivo dello spazio completo di Hilbert a molti corpi. La costruzione ha un carattere puramente cinematico, essendo dataa priori la specificazione (per esempio, fenomenologica) di un gruppo di stati generatori a molti corpi. Si fonda sull’analisi delle proprietà delle sovrapposizioni degli stati generatori e sull’uso degli spazi standard di funzioni quadratiche integrabili della meccanica quantistica. Si identificano chiaramente alcuni ben noti comportamenti anomali delle funzioni di peso delle coordinate generatrici corne comportamenti di origine cinematica. Si introduce una rappresentazione standard nello spazio delle fasi collettiyo, che li elimina. Si mostra inoltre come è possibile definire aposteriori appropriate variabili dinamiche collettive. Si trattano noccioli di sovrapposizione di Hilbert-Schmidt e l’approssimazione di sovrapposizione gaussiana come esempi speciali.

РЕжУМЕ

ИспОльжУЕтсь пОДхОД с ИспОльжОВАНИЕМ кООРДИНАт гЕНЕРАтОР А Дль кОНстРУИРОВАНИ ь кОллЕктИВНОгО пОДп РОстРАНстВА Дль пОлН ОгО МНО кОллЕктИВНОгО пОДпР ОстРАНстВА Дль пОлНО гО МНОгОЧАстИЧНОгО п РОстРАНстВА гИльБЕР тА. кОНстРУИРОВАНИЕ И МЕЕт ЧИстО кИНЕМАтИЧ ЕскИИ хАР МНОгОЧАстИЧНОгО пРО стРАНстВА гИльБЕРтА. кОНстРУИРОВАНИЕ ИМЕ Ет ЧИстО кИНЕМАтИЧЕс кИИ хАРАктЕР, ЧтО ОпРЕ ДЕльЕт хАРАктЕРИстИ кИ сИстЕМы МНОгОЧАст ИЧНых сОстОьНИИ гЕНЕ РАтОРА. к кОНстРУИРОВАНИЕ ИМЕ Ет ЧИстО кИНЕМАтИЧЕс кИИ хАРАктЕР, ЧтО ОпРЕ ДЕльЕт хАРАктЕРИстИ кИ сИстЕМы МНОгОЧАст ИЧНых сОстОьНИИ гЕНЕ РАтОРА. кОНстРУИРОВА НИЕ ОсНОВАНО НА АНАлИ жЕ сВОИстВ пЕРЕкРытИ ь сОстОьНИИ гЕНЕРАтО РА И НА ИспОльжОВАНИН ЧтО ОпРЕДЕльЕт хАРАк тЕРИстИкИ сИстЕМы МН ОгОЧАстИЧНых сОстОь НИИ гЕНЕРАтОРА. кОНст РУИРОВАНИЕ ОсНОВАНО НА АНАлИжЕ сВОИстВ пЕ РЕкРытИь сОстОьНИИ г ЕНЕРАтОРА И НА ИспОль жОВАНИН стАНДАРтНых пРОстРАНстВ кВАДРАт ИЧНО ИНтЕгРИРУЕМых Ф УНкцИИ В кВАНтОВОИ МЕ хАНИкЕ. ОтМЕЧАЕтсь, МНОгОЧАстИЧНых сОст ОьНИИ гЕНЕРАтОРА. кОН стРУИРОВАНИЕ ОсНОВА НО НА АНАлИжЕ сВОИстВ пЕРЕкРытИь сОстОьНИ И гЕНЕРАтОРА И НА ИспО льжОВАНИН стАНДАРтН ых пРОстРАНстВ кВАДР АтИЧНО ИНтЕгРИРУЕМы х ФУНкцИИ В кВАНтОВОИ МЕхАНИкЕ. ОтМЕЧАЕтсь, ЧтО НЕкОРРЕктНОстИ В пОВЕДЕНИИ ВЕсОВых ФУ НкцИИ В пОДхОДЕ кООРД ИНАт гЕНЕРАтО кОНстРУИРОВАНИЕ ОсН ОВАНО НА АНАлИжЕ сВОИ стВ пЕРЕкРытИь сОстО ьНИИ гЕНЕРАтОРА И НА И спОльжОВАНИН стАНДА РтНых пРОстРАНстВ кВ АДРАтИЧНО ИНтЕгРИРУ ЕМых ФУНкцИИ В кВАНтО ВОИ МЕхАНИкЕ. ОтМЕЧАЕ тсь, ЧтО НЕкОРРЕктНОс тИ В пОВЕДЕНИИ ВЕсОВы х ФУНкцИИ В пОДхОДЕ кО ОРДИНАт гЕНЕРАтОРА с ВьжАНы с кИНЕМАтИкОИ. ВВОДИтсь стАНДАРтНО Е пРЕДстАВлЕНИЕ В кОл лЕктИВНОМ ФАжОВО пЕРЕкРытИь сОстОьНИ И гЕНЕРАтОРА И НА ИспО льжОВАНИН стАНДАРтН ых пРОстРАНстВ кВАДР АтИЧНО ИНтЕгРИРУЕМы х ФУНкцИИ В кВАНтОВОИ МЕхАНИкЕ. ОтМЕЧАЕтсь, ЧтО НЕкОРРЕктНОстИ В пОВЕДЕНИИ ВЕсОВых ФУ НкцИИ В пОДхОДЕ кООРД ИНАт гЕНЕРАтОРА сВьж АНы с кИНЕМАтИкОИ. ВВО ДИтсь стАНДАРтНОЕ пР ЕДстАВлЕНИЕ В кОллЕк тИВНОМ ФАжОВОМ пРОст РАНстВЕ, кОтОРОЕ пОжВ ОльЕт ИсклУЧИть ЁтИ Н ЕкОРРЕктНОстИ. тАкжЕ УкАжыВАЕтсь, кАк МОгУ т Быть стАНДАРтНых пРОстРА НстВ кВАДРАтИЧНО ИНт ЕгРИРУЕМых ФУНкцИИ В кВАНтОВОИ МЕхАНИкЕ. О тМЕЧАЕтсь, ЧтО НЕкОРР ЕктНОстИ В пОВЕДЕНИИ ВЕсОВых ФУНкцИИ В пОД хОДЕ кООРДИНАт гЕНЕР АтОРА сВьжАНы с кИНЕМ АтИкОИ. ВВОДИтсь стАН ДАРтНОЕ пРЕДстАВлЕН ИЕ В кОллЕктИВНОМ ФАж ОВОМ пРОстРАНстВЕ, кО тОРОЕ пОжВОльЕт Искл УЧИть ЁтИ НЕкОРРЕктН ОстИ. тАкжЕ УкАжыВАЕт сь, кАк МОгУт Быть А пОс тЕРИОРИ ОпРЕДЕлЕНы к ОллЕктИВНыЕ ДИНАМИЧ ЕскИЕ пЕРЕМЕННыЕ. кАк ЧАстНыЕ пРИМЕРы РАсс МАтРИВАУтсь пЕР ФУНкцИИ В кВАНтОВОИ М ЕхАНИкЕ. ОтМЕЧАЕтсь, Ч тО НЕкОРРЕктНОстИ В п ОВЕДЕНИИ ВЕсОВых ФУН кцИИ В пОДхОДЕ кООРДИ НАт гЕНЕРАтОРА сВьжА Ны с кИНЕМАтИкОИ. ВВОД Итсь стАНДАРтНОЕ пРЕ ДстАВлЕНИЕ В кОллЕкт ИВНОМ ФАжОВОМ пРОстР АНстВЕ, кОтОРОЕ пОжВО льЕт ИсклУЧИть ЁтИ НЕ кОРРЕктНОстИ. тАкжЕ У кАжыВАЕтсь, кАк МОгУт Быть А пОстЕРИОРИ ОпР ЕДЕлЕНы кОллЕктИВНы Е ДИНАМИЧЕскИЕ пЕРЕМ ЕННыЕ. кАк ЧАстНыЕ пРИ МЕРы РАссМАтРИВАУтс ь пЕРЕкРыВАУЩИЕсь ьД РА гИльБЕРтА-шМИДтА И гАУссОВО пЕРЕкРыВАУ шЕЕсь пРИБлИжЕНИЕ. НЕкОРРЕктНОстИ В пОВ ЕДЕНИИ ВЕсОВых ФУНкц ИИ В пОДхОДЕ кООРДИНА т гЕНЕРАтОРА сВьжАНы с кИНЕМАтИкОИ. ВВОДИт сь стАНДАРтНОЕ пРЕДс тАВлЕНИЕ В кОллЕктИВ НОМ ФАжОВОМ пРОстРАН стВЕ, кОтОРОЕ пОжВОль Ет ИсклУЧИть ЁтИ НЕкО РРЕктНОстИ. тАкжЕ УкА жыВАЕтсь, кАк МОгУт Бы ть А пОстЕРИОРИ ОпРЕД ЕлЕНы кОллЕктИВНыЕ Д ИНАМИЧЕскИЕ пЕРЕМЕН НыЕ. кАк ЧАстНыЕ пРИМЕ Ры РАссМАтРИВАУтсь п ЕРЕкРыВАУЩИЕсь ьДРА гИльБЕРтА-шМИДтА И гА УссОВО пЕРЕкРыВАУшЕ Есь пРИБлИжЕНИЕ. кООРДИНАт гЕНЕРАтОР А сВьжАНы с кИНЕМАтИк ОИ. ВВОДИтсь стАНДАРт НОЕ пРЕДстАВлЕНИЕ В к ОллЕктИВНОМ ФАжОВОМ пРОстРАНстВЕ, кОтОРО Е пОжВОльЕт ИсклУЧИт ь ЁтИ НЕкОРРЕктНОстИ. тАкжЕ УкАжыВАЕтсь, кА к МОгУт Быть А пОстЕРИ ОРИ ОпРЕДЕлЕНы кОллЕ ктИВНыЕ ДИНАМИЧЕскИ Е пЕРЕМЕННыЕ. кАк ЧАст НыЕ пРИМЕРы РАссМАтР ИВАУтсь пЕРЕкРыВАУЩ ИЕсь ьДРА гИльБЕРтА-ш МИДтА И гАУссОВО пЕРЕ кРыВАУшЕЕсь пРИБлИж ЕНИЕ. стАНДАРтНОЕ пРЕДстА ВлЕНИЕ В кОллЕктИВНО М ФАжОВОМ пРОстРАНст ВЕ, кОтОРОЕ пОжВОльЕт ИсклУЧИть ЁтИ НЕкОРР ЕктНОстИ. тАкжЕ УкАжы ВАЕтсь, кАк МОгУт Быть А пОстЕРИОРИ ОпРЕДЕл ЕНы кОллЕктИВНыЕ ДИН АМИЧЕскИЕ пЕРЕМЕННы Е. кАк ЧАстНыЕ пРИМЕРы РАссМАтРИВАУтсь пЕР ЕкРыВАУЩИЕсь ьДРА гИ льБЕРтА-шМИДтА И гАУс сОВО пЕРЕкРыВАУшЕЕс ь пРИБлИжЕНИЕ. пРОстРАНстВЕ, кОтОРО Е пОжВОльЕт ИсклУЧИт ь ЁтИ НЕкОРРЕктНОстИ. тАкжЕ УкАжыВАЕтсь, кА к МОгУт Быть А пОстЕРИ ОРИ ОпРЕДЕлЕНы кОллЕ ктИВНыЕ ДИНАМИЧЕскИ Е пЕРЕМЕННыЕ. кАк ЧАст НыЕ пРИМЕРы РАссМАтР ИВАУтсь пЕРЕкРыВАУЩ ИЕсь ьДРА гИльБЕРтА-ш МИДтА И гАУссОВО пЕРЕ кРыВАУшЕЕсь пРИБлИж ЕНИЕ. НЕкОРРЕктНОстИ. тАкж Е УкАжыВАЕтсь, кАк МОг Ут Быть А пОстЕРИОРИ О пРЕДЕлЕНы кОллЕктИВ НыЕ ДИНАМИЧЕскИЕ пЕР ЕМЕННыЕ. кАк ЧАстНыЕ п РИМЕРы РАссМАтРИВАУ тсь пЕРЕкРыВАУЩИЕсь ьДРА гИльБЕРтА-шМИДт А И гАУссОВО пЕРЕкРыВ АУшЕЕсь пРИБлИжЕНИЕ. пОстЕРИОРИ ОпРЕДЕлЕ Ны кОллЕктИВНыЕ ДИНА МИЧЕскИЕ пЕРЕМЕННыЕ. кАк ЧАстНыЕ пРИМЕРы Р АссМАтРИВАУтсь пЕРЕ кРыВАУЩИЕсь ьДРА гИл ьБЕРтА-шМИДтА И гАУсс ОВО пЕРЕкРыВАУшЕЕсь пРИБлИжЕНИЕ. пЕРЕМЕННыЕ. кАк ЧАстН ыЕ пРИМЕРы РАссМАтРИ ВАУтсь пЕРЕкРыВАУЩИ Есь ьДРА гИльБЕРтА-шМ ИДтА И гАУссОВО пЕРЕк РыВАУшЕЕсь пРИБлИжЕ НИЕ. пЕРЕкРыВАУЩИЕсь ьДР А гИльБЕРтА-шМИДтА И г АУссОВО пЕРЕкРыВАУш ЕЕсь пРИБлИжЕНИЕ. пЕРЕкРыВАУшЕЕсь пРИ БлИжЕНИЕ.