Null co-ordinate dynamics of linearized gravitation

Summary

The null dynamics of the first-order linearized theory has different qualitative properties with respect to the well-known dynamical analysis made by Arnowitt and Deser when it is chosen a preferredx ⁰ = const hypersurface. If we focus the study on the hypersurfacesx ⁺ = const, the whole set of new constraints is found and after having been introduced into the action it is seen that the dynamics depend upon 2 dynamical independent variables. These 2 independent variables, which correspond to the fact that the linearized gravitational field is a massless helicity-2 field, are self-conjugate in a Hamiltonian sense,i.e. these variables essentially coincide with their momenta. Thus the Hamiltonian formalism is given without doubling the number of independent field variables, as in any integer-spinx ⁰-formulation happens. The null Hamiltonian is found and it is seen to correspond to the momentumP ₊ of the field. Thereafter, the Heisenberg commutation relations for the dynamical variables are computed. Null electrodynamics is also studied starting from the first-order action and the so-called null gauge is discussed. In particular it is shown that its choice is not compulsory.

Riassunto

La dinamica in coordinate nulle della teoria al primo ordine linearizzata possiede proprietà qualitative diverse rispetto alia ben nota analisi dinamica fatta da Arnowitt e Deser quando sia stata scelta una ipersuperflcie x⁰ = costante privilegiata. Se si limita lo studio alle ipersuperflci x⁺ = costante, si trovano tutti i nuovi limiti e dopo l’introduzione di essi nell’equazione di azione, si vede che la dinamica dipende da due variabili dinamiche indipendenti. Queste due variabili indipendenti, che corrispondono al fatto che il campo gravitazionale linearizzato è un campo senza massa di elicità 2, sono autoconiugate nel senso hamiltoniano, esse cioè coincidono essenzialmente con i corrispondenti momenti coniugati. Cosí il formalismo hamiltoniano viene introdotto senza raddoppiare il numero delle variabili indipendenti del campo, come awiene in qualsiasi formulazione di tipo x⁰ che sia valida per valori interi dello spin. Si trova l’hamiltoniana in coordinate nulle e si vede che essa corrisponde all’impulsoP ₊ del campo. Si calcolano infine le relazioni di commutazione di Heisenberg per le variabili dinamiche. Si studia inoltre l’elettrodinamica in coordinate nulle partendo dall’equazione di azione al primo ordine e si discute la cosiddetta « null gauge ». In particolare si dimostra che la scelta di essa non è obbligatoria.

Резюме

Нулевая динамика лин еаризованной теории первого порядка имее т различные качестве нные свойства относи тельно хорошо извест ного динамичес свойства относитель но хорошо известного динамического анали за, проведенного Арно виттом и Десером, когд а выбирается преимущ ественная гипм динамического анали за, проведенного Арно виттом и Десером, когд а выбирается преимущ ественная гиперпове рхность x⁰= соnst. Фокусиру я исследование на гип ерповерхностях x⁺= Десером, когда выбира ется преимущественн ая гиперповерхность x⁰= соnst. Фокусируя исслед ование на гиперповер хностях x⁺= гиперповерхность x⁰= с оnst. Фокусируя исследов ание на гиперповерхн остях x⁺= гиперповерхностях x⁺= = сопя!, получается цела я система новых огран ичений и, вводя действие, можно увидеть, что динамика зависит от 2 динамичес ких независимых пере менных. Эти 2 независим динамических незави симых переменных. Эти 2 независимые перемен ные, которые соответс твуют тому, что линеар изованное гравитаци онное поле представл яе независимые перемен ные, которые соответс твуют тому, что линеар изованное гравитаци онное поле представл яет поле с нулевой мас сой и спиральностью 2, п редставляют самосоп ряженные величины в с мысле Гамиль что линеаризованное гравитационное поле представляет поле с н улевой массой и спира льностью 2, представля ют самосопряженные в еличины в смысле Гами льтониана, т.е. эти пере менные, по существу, со впадают с импульсами. Приводится Гамильто нов формал представляет поле с н улевой массой и спира льностью 2, представля ют самосопряженные в еличины в смысле Гами льтониана, т.е. эти пере менные, по существу, со впадают с импульсами. Приводится Гамильто нов формализм без удв оения числа независи мых полевых переменн ых, как происходит в сл учае x⁰-формулировк представляют самосо пряженные величины в смысле Гамильтониан а, т.е. эти переменные, п о существу, совпадают с импульсами. Приводи тся Гамильтонов форм ализм без удвоения чи сла независимых поле вых переменных, как пр оисходит в случае x⁰-фо рмулировки для любог о целого спина. Получе н нулевой Гамильтони ан и можно видеть, что о н соответствует импу льсу м Гамильтониана, т.е. эти переменные, по сущест ву, совпадают с импуль сами. Приводится Гами льтонов формализм бе з удвоения числа неза висимых полевых пере менных, как происходи т в случае x⁰-формулиро вки для любого целого спина. Получен нулево й Гамильтониан и можн о видеть, что он соотве тствует импульсу Р₊ п оля. В соответствии с э тим вычисляются комм утационные соотноше ния Гайзенберга для д инамич совпадают с импульса ми. Приводится Гамиль тонов формализм без у двоения числа незави симых полевых переме нных, как происходит в случае x⁰-формулировк и для любого целого сп ина. Получен нулевой Г амильтониан и можно в идеть, что он соответс твует импульсу Р₊ пол я. В соответствии с эти м вычисляются коммут ационные соотношени я Гайзенберга для дин амических переменны х. Также рассматривае тся нулевая электрод инамика, исходя из дей ствия первого п формализм без удвоен ия числа независимых полевых переменных, к ак происходит в случа е x⁰-формулировки для л юбого целого спина. По лучен нулевой Гамиль тониан и можно видеть, что он соответствует импульсу Р₊ поля. В соо тветствии с этим вычи сляются коммутацион ные соотношения Гайз енберга для динамиче ских переменных. Такж е рассматривается ну левая электродинами ка, исходя из действия первого порядка. Обсу ждается так называем ая нулевая калибровк а. В частности, показыв ается, что выбор этой к м переменных, как проис ходит в случае x⁰-форму лировки для любого це лого спина. Получен ну левой Гамильтониан и можно видеть, что он со ответствует импульс у Р₊ поля. В соответств ии с этим вычисляются коммутационные соот ношения Гайзенберга для динамических пер еменных. Также рассма тривается нулевая эл ектродинамика, исход я из действия первого порядка. Обсуждается так называемая нулев ая калибровка. В частн ости, показывается, чт о выбор этой калибров ки не является обязат ельным. для любого целого спи на. Получен нулевой Га мильтониан и можно ви деть, что он соответст вует импульсу Р₊ поля. В соответствии с этим вычисляются коммута ционные соотношения Гайзенберга для дина мических переменных. Также рассматривает ся нулевая электроди намика, исходя из дейс твия первого порядка. Обсуждается так назы ваемая нулевая калиб ровка. В частности, пок азывается, что выбор э той калибровки не явл яется обязательным. и можно видеть, что он с оответствует импуль су Р₊ поля. В соответст вии с этим вычисляютс я коммутационные соо тношения Гайзенберг а для динамических пе ременных. Также рассм атривается нулевая э лектродинамика, исхо дя из действия первог о порядка. Обсуждаетс я так называемая нуле вая калибровка. В част ности, показывается, ч то выбор этой калибро вки не является обяза тельным. В соответствии с этим вычисляются коммута ционные соотношения Гайзенберга для дина мических переменных. Также рассматривает ся нулевая электроди намика, исходя из дейс твия первого порядка. Обсуждается так назы ваемая нулевая калиб ровка. В частности, пок азывается, что выбор э той калибровки не явл яется обязательным. соотношения Гайзенб ерга для динамически х переменных. Также ра ссматривается нулев ая электродинамика, и сходя из действия пер вого порядка. Обсужда ется так называемая н улевая калибровка. В ч астности, показывает ся, что выбор этой кали бровки не является об язательным. Также рассматривает ся нулевая электроди намика, исходя из дейс твия первого порядка. Обсуждается так назы ваемая нулевая калиб ровка. В частности, пок азывается, что выбор э той калибровки не явл яется обязательным. исходя из действия пе рвого порядка. Обсужд ается так называемая нулевая калибровка. В частности, показывае тся, что выбор этой кал ибровки не является о бязательным. называемая нулевая к алибровка. В частност и, показывается, что вы бор этой калибровки н е является обязатель ным. показывается, что выб ор этой калибровки не является обязательн ым. обязательным.