Embedding approach to a restricted covariance group in general relativity

Summary

Two features of the local embedding problem of relativistic manifolds are discussed. It is first shown how preferred co-ordinates can be found, and a set of « potentials » introduced, such that the curved metric becomes unambiguously decomposed in a flat metric plus a genuine gravitational part. This decomposition of the metric holds locally, at least, over that extended space-time region corresponding to the co-ordinate patch of the local embedding. Next, the transformation group which preserves the form invariance of this decomposition of the metric is presented. It corresponds to a well-known enlarged Poincaré group, with the characteristic property, however, that the « potentials » are transformed conjointly with the preferred co-ordinates.

Riassunto

Si disoutono due aspetti del problema dell’inserimento locale delle molteplicità relativistiche. Dapprima si mostra come si possono ottenere le coordinate privilegiate e si può introdurre un insieme di « potenziali » in maniera che la metrica curva venga decomposta esplicitamente nella metrica piana più una parte gravitazionale pura. Questa decomposizione della metrica rimane valida localmente, almeno, nella regione dello spazio-tempo che si estende in corrispondenza della zona di coordinate dell’inserimento locale. Poi si presenta il gruppo di trasformazioni che conserva l’invarianza della forma per questa decomposizione della metrica. Si vede che esso corrisponde al ben noto gruppo di Poincaré allargato, con la proprietà caratteristica, però, che i « potenziali » sono trasformati congiuntamente alle coordinate privilegiate.

Резюме

Обсуждаются две особ енности локальной проблемы включения д ля релятивистских мн ожеств. Сначала показ ывается, как могут быт ь найдены преи Сначала показываетс я, как могут быть найде ны преимущественные координаты и может бы ть введена система « п отенциалов », таких, чт о искривленная м преимущественные ко ординаты и может быть введена система « пот енциалов », таких, что и скривленная метрика может быть однозначн о разложена на плоску ю метрику плюс истинн ую гравитационную ча сть. система « потенциало в », таких, что искривле нная метрика может бы ть однозначно разлож ена на плоскую метрик у плюс истинную грави тационную часть. Это р азложение метрики вы полняется локально, п о крайней мере, по всей протяженной простра нственн метрика может быть од нозначно разложена н а плоскую метрику плю с истинную гравитаци онную часть. Это разло жение метрики выполн яется локально, по кра йней мере, по всей прот яженной пространств енно-временной облас ти, соответствующей у частку координат для локального включени я. Затем приводится метрику плюс истинну ю гравитационную час ть. Это разложение мет рики выполняется лок ально, по крайней мере, по всей протяженной п ространственно-врем енной области, соотве тствующей участку ко ординат для локально го включения. Затем пр иводится трансформа ционная группа, котор ая сохраняет инвариа нтность формы этого р азложения метрики. Эт а гру разложение метрики в ыполняется локально, по крайней мере, по все й протяженной простр анственно-временной области, соответству ющей участку координ ат для локального вкл ючения. Затем приводи тся трансформационн ая группа, которая сох раняет инвариантнос ть формы этого разлож ения метрики. Эта груп па соответствует хор ошо известной расшир енной группе Пуанкар е, которая обладает ха рактерным свойс мере, по всей протяжен ной пространственно-временной области, со ответствующей участ ку координат для лока льного включения. Зат ем приводится трансф ормационная группа, к оторая сохраняет инв ариантность формы эт ого разложения метри ки. Эта группа соответ ствует хорошо извест ной расширенной груп пе Пуанкаре, которая о бладает характерным свойством, что « потен циалы » преобразуютс я совместно с преимущ ественными координа тами. области, соответству ющей участку координ ат для локального вкл ючения. Затем приводи тся трансформационн ая группа, которая сох раняет инвариантнос ть формы этого разлож ения метрики. Эта груп па соответствует хор ошо известной расшир енной группе Пуанкар е, которая обладает ха рактерным свойством, что « потенциалы » пре образуются совместн о с преимущественным и координатами. локального включени я. Затем приводится тр ансформационная гру ппа, которая сохраняе т инвариантность фор мы этого разложения м етрики. Эта группа соо тветствует хорошо из вестной расширенной группе Пуанкаре, кото рая обладает характе рным свойством, что « п отенциалы » преобраз уются совместно с пре имущественными коор динатами. трансформационная г руппа, которая сохран яет инвариантность ф ормы этого разложени я метрики. Эта группа с оответствует хорошо известной расширенн ой группе Пуанкаре, ко торая обладает харак терным свойством, что « потенциалы » преобр азуются совместно с п реимущественными ко ординатами. инвариантность форм ы этого разложения ме трики. Эта группа соот ветствует хорошо изв естной расширенной г руппе Пуанкаре, котор ая обладает характер ным свойством, что « по тенциалы » преобразу ются совместно с преи мущественными коорд инатами. группа соответствуе т хорошо известной ра сширенной группе Пуа нкаре, которая облада ет характерным свойс твом, что « потенциалы » преобразуются совм естно с преимуществе нными координатами. группе Пуанкаре, кото рая обладает характе рным свойством, что « п отенциалы » преобраз уются совместно с пре имущественными коор динатами. свойством, что « потен циалы » преобразуютс я совместно с преимущ ественными координа тами. с преимущественными координатами.