On the functional approach to the statistical nonlinear problems

Summary

The initial-boundary problem characterized by a nonlinear second-order partial differential equation with arbitrary boundary conditions is investigated. An open infinite hierarchy of equations which arise as a consequence of a statistical description is solved by transforming into the functional differential equation. The solution of the latter in terms of both the operator and the functional integral is obtained in the particular case of the random velocity field of a turbulent incompressible flow.

Riassunto

Si studia il problema della condizione al contorno iniziale caratterizzata da un’equazione differenziale parziale di second’ordine con condizioni al contorno arbitrarie. Una gerarchia aperta e infinita di equazioni che prendono origine in conseguenza di una descrizione statistica è risolta trasformando in un’equazione funzionale differenziale. La soluzione di questa sulle basi sia dell’operatore che dell’integrale funzionale è ottenuta nel caso particolare del campo di velocità casuale di una corrente turbolenta incomprimibile.

Резюме

Известно, что многие статистические нелинейные задачи математической физики могут быть сформулированы в рамках функционального подхода. При этом искомый функционал подчиняется системе уравнений в функциональных производных. Замечательной особенностью уравнений является их линейность, которая вместе с компактностью описания и возможностью замкнутой формулировки задачи относится к преимуществам функционального подхода и позволяет применять некоторые операторные методы. В настоящей работе предлагается один из таких методов. Функциональный вариант нелинейных задач рассматривается на примере статистической гидромеханики. Считается, что турбулентность возникает благодаря случайности полей в начальный момент времени и на границе пространственной области течения несжимаемой жидкости. Относительно пространственно-временного характеристического функционала поля скорости формулируется начальная задача с граничными условиями общего вида. Предлагаемый метод позволяет получить общее решение системы уравнений, а с учетом начально-граничного условия дает точное операторное решение задачи, которое затем представляется в виде континуального интеграла.