Coherent states and the irreversible motion of a particle coupled to a system of oscillators

Summary

A many-body system consisting of a central elastically bound particle coupled to a large number of harmonic oscillators is studied. The co-ordinate of this particle satisfies the equation of motion of a damped harmonic oscillator. To get the quantal description of this damped motion, the many-body wave function for the complete system is written in the coherent-state basis,i.e. as a product of a real stationary wave function and a co-ordinate- and time-dependent phase factor. In order to isolate the motion of the central particle, the stationary wave function is approximated by a product of single-particle wave functions. By calculating the contribution of the variable phase factor to the single-particle wave function, it is shown that the resulting equation for the damped motion of an oscillator is the Schrödinger-Langevin equation.

Riassunto

Si studia un sistema a molti corpi che consiste in una particella centrale con legame elastico accoppiata ad un gran numero di oscillatori armonici. La coordinata di questa particella soddisfa l’equazione di moto di un oscillatore armonico smorzato. Per ottenere una descrizione quantica di questo moto smorzato, la funzione d’onda a molti corpi per il sistema completo è scritta sulla base dello stato coerente, cioè è il prodotto di una funzione d’onda reale stazionaria e di un fattore di fase dipendente dalla coordinata e dal tempo. Per isolare il moto della particella centrale, la funzione d’onda stazionaria è approssimata da un prodotto di funzioni d’onda per particelle singole. Calcolando il contributo del fattore di fase variabile alla funzione d’onda per particella singola, si mostra che l’equazione risultante per il moto smorzato di un oscillatore è l’equazione di Schrödinger-Langevin.

Резюме

Исследуется многочастичная система, состоящая из центральной частицы, упруго связанной с большим числом гармонических осцилляторов. Координата этой частицы удовлетворяет уравнению движения для затухающего гармонического осциллятора. Для получения квантового описания этого затухающего движения в базисе когерентных состояний записывается многочастичная волновая функция для полной системы, как произведение вещественной стационарной волновой функции и фазового множителя, зависящего от координат и времени. Чтобы выделить движение центральной частицы, стационарная волновая функция аппроксимируетя произведением одночастичных волновых функций. Вычисляя вклад переменного фазового множителя в одночастигную волновую функцию, показывается, что результирующее уравнение для затухающего движения осциллятора представляет уравнение Шредингера-Ланжевена.