A six-mode truncation of the Navier-Stokes equations on a two-dimensional torus: a numerical study

Summary

We study a model obtained from a six-mode trunction of the Navier-Stokes equations for a two-dimensional incompressible fluid on a torus. We find that at low values of the Reynolds numberR the dynamics is characterized by fixed points and, at large values ofR, by two stable periodic orbits; at intermediate values ofR two infinite sequences of bifurcations of periodic orbits into periodic orbits of doubled period lead to two regions of «turbulent» or «chaotic» behaviour. The turbulent regions end up for values ofR for which stable periodic orbits appear.

Riassunto

Si studia un modello ottenuto con un troncamento a sei modi dell’equazioni di Navier-Stokes per un fluido incompressibile su un toro bidimensionale. Si trova che la dinamica è caratterizzata da punti fissi per piccoli numeri di Reynolds e da orbite stabili per grandi numeri di Reynold. Per valori intermedi si osservano due sequenze di infinite biforcazioni di orbite periodiche in orbite periodiche di periodo doppio che conducono in due regioni «turbolente». Queste regioni scompaiono per valori del numero di Reynold per cui nascono altre orbite stabili.

Резюме

Мы исследуем модель, полученную из шести-модового обрезания уравнений Навье-Стокса для двумерной несжимаемой жидкости в торе. Мы получаем, что при малых значениях числа РейнольдсаR динамика характеризуется фиксированными точками, а при больших значенияхR—двумя стационарными периодическими орбитами; при промежуточных значенияхR две бесконечные последовательности бифуркаций периодических орбит на периодические орбиты с удвоенным периодом приводят к двум областям «турбулентного» или «хаотического» поведения. Турбулентные области обрываются при значенияхR, для которых появляются устойчивые периодические орбиты.