Graded de Sitter space-time, group and algebra

Summary

The (m+n)-dimensional flat superspace is considered and graded linear groups with their graded algebra are calculated. The (4+4)-dimensional graded de Sitter space-time is discussed geometrically by its embedding in the (5+4)-dimensional flat superspace, and its isometry subgroupOSp _¼ is calculated. We have used the isomorphism between the algebra ofSp ₄,R andSO _3,2 to express the generatorsS ^ab ofSO _3,2 in terms of the generatorsh ^αβ of the symplectic groupSp _4,R , then it is easy to obtain the graded de Sitter algebra from the orthosymplectic algebraOSp _¼. Finally, by contraction we obtain the graded Poincaré algebra, that is the superalgebra with which we are familiar.

Riassunto

Si considera il superspazio piatto di dimensionem+n e si calcolano i gruppi lineari graduati con le loro algebre graduate. Si discute geometricamente lo spazio-tempo graduato di de Sitter mediante la sua inclusione nel superspazio piatto di dimensione 5+4 e si calcola il suo sottogruppo di isometriaOSp _¼. Poiché si usa l’isomorfismo tra l’algebra diSp ₄,R eSO _3,2 per esprimere i generatoriS ^ab diSO _3,2 in termini dei generatorih ^αβ del gruppo simpletticoSp _4,R , è facile ottenere l’algebra graduata di de Sitter dall’algebra ortosimpletticaOSp _¼. Infine, mediante contrazione si ottiene l’algebra graduata di Poincaré, cioè la familiare superalgebra.

Резюме

Рассматривается (m+n)-мерное плоское суперпространство и вычисляются градуированные линейные группы и их градуировання алгебра. Обсуждается (4+4)-мерное градуированное пространство-время де Ситтера, внедряя его в (5+4)-мерное плоское суперпространство. Вычисляется изометрическая субгруппаOSp _1/4. Мы используем изоморфизм между алгебройSp ₄,R иSO _3,2 для выражения генераторовS ^ab группыSO _3,2 в терминах генераторовh ^αβ симплектической группыSp _4,R ; после чего легко получить градуированную алгебру де Ситтера из ортосимплектической алгебрыOSp _1/4. В заключение, с помощью сокращения, мы получаем градуированную алгебру Пуанкаре, которая представляет уже известную нам супералгебру.