Comments about θ-vacua and topology of theSU ₂ Yang-Mills theory

Summary

We discuss the topological properties of the configuration space in theSU ₂ Yang-Mills theory, consisting of all the field configurations for which the classical Hamiltonian is bounded, using a language which is familiar from the study of two- or three-dimensional spaces with a nontrivial topology. Assuming that the physically relevant configurations consist of all potentials approaching a pure gauge at spacial infinity, we show that all closed paths in the physical configuration space, which in the temporal gauge correspond to continuous paths connecting a field configurationA ^a_i (x) with a gauge transform thereof, can be classified with the help of an «angular variable» by a winding number. This «angular variable» is a nonsingular, single-valued functional of the potentials, but a multivalued functional of the gauge invariants built from these. As a consequence, inequivalent representations for the canonical momenta exist which give rise to different θ-worlds.

Riassunto

Si discutono le proprietà topologiche dello spazio delle configurazioni nella teoriaSU ₂ di Yang e Mills che consistono in tutte le configurazioni di campo per le quali l'hamiltoniana classica è limitata usando il linguaggio familiare dello studio degli spazi bi- o tridimensionali con topologia non banale. Supponendo che tutte le configurazioni fisicamente rilevanti consistano in tutti i potenziali che approssimano una gauge pura all'infinito spaziale, si mostra che tutti i cammini chiusi nello spazio delle configurazioni fisico, che nella gauge temporale corrispondono a cammini continui che connettono una configurazione di campoA ^a_i (x) con una sua trasformata di gauge, possono essere classificati con l'aiuto di una «variabile angolare» da un numero di giri. Questa «variabile angolare» è un funzionale non singolare ad un solo valore dei potenziali, ma anche un funzionale a molti valori degli invarianti di gauge costruiti da questi. Di conseguenza esistono rappresentazioni non equivalenti per gli impulsi canonici che danno origine a differenti universali θ.

Резюме

Мы обсуждаем топологические свойства конфигурационного пространства вSU ₂ теории Янга, включающего все полевые конфигурации, для которых классический Гамильтониан является связанным. При рассмотрении используется подход, который аналогичен случаю двух—или трехмерных пространств с нетривиальной топологией. Предполагая, что физически уместные конфнгурации включают все потенциалы, аппроксимирующие чистуй калибровку в пространственной бесконечности, мы показываем, что все замкнутые траектории в физическом конфигурационном пространстве, которое во временной калибровке соответствует непрерывным траекториям, связывающим конфигурацию поляA ^a_i (x) с калибровочным преобразованием, могут быть классифицированы с помощью «угловой переменной». Эта «угловая переменная» является несингулярным, однозначным функционалом потенциалов, но многозначным функционалом калибровочных инавриантов. Вследствие этого существуют неэквивалентные представления для канонических импульсов, которые приводят к различным θ-вселенным.