Weyl and conformal covariant field theories

Summary

It is shown that, by imposing covariance with respect to the 11-parameter Weyl group, most of the known renormalizable field theories, and only these, are obtained and that they admit, locally in the Minkowski spaceM ^3,1, a conformal group as a higher symmetry group. Globally conformal covariant Lagrangian field theories are first defined in a pseudo-Euclidean spaceM ^4,2, where the conformal group acts linearly. Subsequently, a compactified Minkowski spaceM ^3,1_c is defined where the ordinary Minkowski space is densely imbedded. Conformally invariant Lagrangians and corresponding quasi-invariant massive-field equations inM ^4,2,M ^3,1_c ,M ^3,1 are considered and the transformation properties of the mass terms discussed. Conformal quasi-invariant field equations for spinor fields interacting with (conformal) scalar and vector fields are discussed. The spinor fields always appear in the equations of motion as doublets of Dirac spinors, both having canonical dimensions. The simplest form of minimally coupled spinor-vector field equations appears to be apt to represent intermediate boson weak interactions rather than electromagnetic ones, since the interaction always induces transitions among the elements of the spinor doublets. To obtain the familiar field equations of electrodynamics, one may introduce appropriate conformally covariant factors in the spinor-vector Lagrangian density. By imposing two conformally invariant gauge conditions on the conformal six-vector field, one obtains conformally covariant Dirac-Maxwell field equations inM ^3,1 for a conformal doublet of equally charged fermions (reminiscent of μ, e). By not imposing any gauge condition on the conformal vector field, two new Lorentz scalar fields,A ₊,A ₋, coupled to the spinor doublet, are predicted by the conformal theory. Their properties and possible role in mass generation are briefly discussed.

Riassunto

Si fa vedere come, imponendo la covarianza rispetto al gruppo di Weyl ad 11 parametri, si ottiene la maggior parte delle teorie di campo rinormalizzabili conosciute e solamente queste, e come esse ammettano, localmente nello spazio di MinkowskiM ^3.1-un gruppo conforme come gruppo di simmetria più elevata. Teorie di campo lagrangiane globalmente conformi covarianti vengono definite dapprima in uno spazio pseudo, euclideoM ^4.2, dove il gruppo conforme agisce linearmente. Si definisce quindi uno spazio di Minkowski compattificatoM ^3,1_c , dove lo spazio di Minkowski usuale è immerso densamente. Si considerano inM ^4.2,M ^3,1_c ,M ^3,1 lagrangiani conformi invarianti e le equazioni di campo massive quasi invarianti corrispondenti, e si discutono le proprietà di trasformazione dei termini di massa. Si discutono le equazioni di campo conformi quasi invarianti per campi spinoriali interagenti con campi scalari e vettoriali (conformi). I campi spinoriali appaiono nelle equazioni del moto sempre come doppietti di spinori di Dirac, entrambi aventi dimensioni canoniche. La forma più semplice di equazioni di campo per spinori e vettori, con minimo accoppiamento sembra essere più adatta a rappresentare le interazioni deboli con bosoni intermedi, piuttosto che quelle elettromagnetiche, in quanto l’interazione induce sempre transizioni fra gli elementi del doppietto di spinori. Per ottenere le usuali equazioni di campo dell’elettrodinamica, si possono introdurre appropriati fattori conformi covarianti nella densità di lagrangiano spinore-vettore. Imponendo due condizioni di gauge conformi invarianti sul campo esavettoriale conforme, si ottengono inM ^3,1 equazioni di campo di Dirac-Maxwell conformi covarianti per un doppietto conforme di fermioni con carica eguale (che potrebbero rappresentare μ, e). Non imponendo alcuna condizione di gauge sul campo vettoriale conforme, la teoria conforme predice due nuovi campi, scalari di Lorentz,A+,A−, accoppiati al doppietto di spinori. Si discutono brevemente le loro proprietà ed il ruolo possibile nella generazione di massa.

Резюме

Показывается, что, накладывая условие ковариантности относительно 11-параметрической группы Вейля, получается большинство известных перенормируемых теорий поля. Эти теории допускают локально в пространстве МинковскогоM ^3,1 конформную группу, как группу более высокой симметрии. Сначала определяются глобально конформные ковариантные Лагранжианные теории поля в псевдо-эвклидовом пространствеM ^4,2, где конформная группа действует линейно. Затем определяется компактное пространство МинковскогоM ^3,1_c в которое вставлено обычное пространство Минковского. Рассматриваются конформно инвариантные Лагранжианы и соответствующие квази-инвариантные уравнения для массивных полей вM ^4,2,M ^3,1_c ,M ^3,1. Обсуждаются свойства преобразований массовых членов. Анализируются конформные квази-инвариантные уравнения поля для спинорных полей, взаимодействующих с (конформными) скалярным и векторным полями. Спинорные поля всегда возникают в уравнениях движения, как дублеты спиноров Дирака, причем оба поля имеют канонические размерности. Простейшая форма уравнений, минимально связанных спинорно-векторных полей, по-видимому, представляет промежуточный бозон слабых взаимодействий, а не электромагнитных, так как взаимодействие всегда индуцирует переходы между элементами спинорных дублетов. Для получения аналогичных уравнений поля для электродинамики можно ввести в плотность спинорно-векторного Лагранжиана соответствующие конформно ковариантные факторы. Накладывая на конформное шести-векторное поле два конформно инвариантных условия калибровки, мы получаем конформно ковариантные уравнения поля Дирака-Максвелла вM ^3,1 для конформного дублета одинаково заряженных фермионов (напоминающих м, е). Не накладывая никаких условий калибровки на конформное векторное поле, конформная теория предсказывает два новых скалярных поля Лоренца,A+,A−, связанных со спинорным дублетом. Обсуждаются свойства этих полей и их роль в образовании масс.