Hooke’s symmetries and nonrelativistic cosmological kinematics. II: Irreducible projective representations

Summary

The irreducible unitary projective representations of the Hooke groups are constructed by Mackey’s method of induced representations. In this manner, we obtain a classification of the true irreducible representations of the extended and ordinary Hooke group universal covering, and then a classification of the elementary quantum systems which have Hooke symmetries. The eigenvalues of their invariant operators label these irreducible representations, and the corresponding infinitesimal representations define their Lie algebras. When this makes sense, some physical interpretations are given.

Riassunto

Si sono costruite le rappresentazioni proiettive unitarie irreducibili dei gruppi di Hooke mediante il metodo di Mackey delle rappresentazioni indotte. In questo modo, si ottiene una classiflcazione delle vere rappresentazioni irriducibili della copertura universale dei gruppi esteso ed ordinario di Hooke, e quindi una classifloazione dei sistemi quantici elementari che hanno le simmetrie di Hooke. Gli autovalori dei loro operatori invarianti contrassegnano queste rappresentazioni irriducibili e le rappresentazioni infinitesime corrispondenti deflniscono le loro algebre di Lie. Quando questo lia senso si danno alcune interpretazioni fisiche.

Резюме

II: Неприводимые проективные предста вления. Резюме (*). - С помощью мет ода Маккея для индуци рованных представлений конструируются непр иводимые унитарные п роективные представления групп Хука. Таким образом, мы полу чаем классификацию и стинных неприводимых предст авлений универсальной оболо чки расширенной и обы чной групп Хука, а затем классифи кацию элементарных кванто вых систем, которые им еют симметрию Хука. Собст венные значения их инвариан тных операторов хара ктеризуют эти неприводимые пре дставления. Соответствующие бес конечно малые предст авления определяют их алгебры Ли. Приводятс я некоторые физическ ие интерпретации.