Octonions and isospin

Summary

The Cayley algebra or algebra of octonions is used to extract the square root of the classical Hamiltonian, in place of the Dirac-Clifford algebra. The resulting wave equation is linear and covariant and possesses a positive definite conserved probability density, and a Lagrangian. The wave function is an octonion, and may be represented as a pair of quaternions. The wave function then possesses an internal degree of freedom which corresponds to multiplication from theright by the Pauli matrices. Lorentz transformation of the wave function is effected byleft multiplication, which does not mix up isospin eigenstates. The wave equation seems appropriate for a dynamical description of an isospin doublet. The electromagnetic properties of the objects described by the wave function are those of a Dirac particle with the usual magnetic moment.

Riassunto

Si usa in luogo dell’algebra di Dirac-Clifford l’algebra di Cayley o algebra degli ottonioni per estrarre la radice quadrata dalla hamiltoniana classica. L’equazione d’onda risultante è lineare e covariante e possiede una lagrangiana ed una densità di probabilità conservata definita positiva. La funzione d’onda è un ottonione e si puó rappresentare come una coppia di quaternioni. La funzione d’onda possiede allora un grado di libertà interno ehe corrisponde alla moltiplicazione da destra per le matrici di Pauli. Si effettua la trasformazione di Lorentz della funzione d’onda moltiplicando a sinistra, il che evita la confusione degli autostati di isospin. L’equazione d’onda sembra appropriata per una mescolanza dinamica di un doppietto di isospin. Le proprietlà elettromagnetiche degli oggetti descritti della funzione d’onda sono quelle di una particella di Dirac col consueto momento magnetico.

Резюме

Чтобы извлечь квадра тный корень из классического гамил ьтониана, используется алгебр а Кейли или алгебра ок тонионов, вместо алгебры Дирак аКлиффорда. Полученное волновое уравнение является л инейным и ковариантным, оно обладает положит ельно определенной сохраняющейся плотн остью вероятности и Лагранжианом. Волно вая функция представ ляет октонион и может быть представлена, как пара кватернионо в. Волновая функция об ладает внутренней степенью свободы, которая соот ветствует умножению справа на матрицы Паули. Преобразование Лоре нтца для волновой фун кции осуществляется левы м умножением, которое не перемешив ает изоспиновые собс твенные состояния. По-видимом у, это волновое уравнен ие уместно для динами ческого описания изоспиново го дублета. Электромагнитные св ойства объектов, опис ываемых этой волновой функцией, оказываются такими ж е, как у частицы Дирака с обычным магнитным моментом.