Metric completions andb-completions of Lorentz manifolds

Summary

Some results about true Riemannian metrics on Lorentz manifolds are established and applied to the study of space-time edge geometry. It is shown that any such metric determines a splitting of the tangent bundle over space-time; this enables us to select a class of Riemannian metrics which satisfy certain relations with respect to the given Lorentz structure. These metrics are in one-to-one correspondence with timelike distributions. A sufficient condition for two such metrics to give homeomorphic completions is found and some examples concerning the two-dimensional Friedmann model are considered. Finally, some results about the comparison betweenb-completions and metric completions are established and, in particular, sufficient conditions for the equivalence of the two notions of completeness are found.

Riassunto

Alcuni risultati, riguardanti le metriche propriamente riemanniane sulle varietà di Lorentz, sono stabiliti e applicati allo studio della geometria del bordo dello spaziotempo. Si mostra che una tale metrica determina una decomposizione del fibrato tangente dello spazio-tempo; ciò permette di selezionare una classe di metriche riemanniane che soddisfano certe relazioni rispetto alla struttura di Lorentz assegnata. Queste metriche sono in corrispondenza biunivoca con le distribuzioni di tipo tempo. Si trova una condizione sufficiente perché due di tali metriche diano luogo a completamenti omeomorfi, e si considerano alcuni esempi concernenti il modello di Friedmann bidimensionale. Infine si stabiliscono alcuni risultati riguardanti il confronto trab-completamenti e completamenti metrici e, in particolare, si trovano condizioni sufficienti per l’equivalenza delle due nozioni di completezza.

Резюме

Выводятся некоторые результаты, касающиеся соответствующих римановых метрик на множествах лоренца. Полученные результаты применяются для изучения геометрии края пространства-времени. Показывается, что любая такая метрика определяет расщепление тангенциального семейства пространства-времени. Это позволяет нам выбрать класс римановых метрик, которые удовлетворяют некоторым соотношениям относительно заданной структуры Лоренца. Эти метрики однозначно соответствуют времениподобным распределениям. Получено достаточное условие, чтобы две такие метрики давали гомеоморфические завершения. Рассматриваются некоторые примеры, касающиеся двумерной модели фридмана. В заключение приводится сравнение результатов, касающихсяb-завершений и метрических завершений. В частности, получаются достаточные условия для эквивалентности двух определений полноты.