Multiterm solution of Boltzmann’s equation for electrons in a gas in an electric field

Summary

The conventional two-term solution of Boltzmann’s equation for electrons in a gas in an electric field is extended to orders higher than the first. Numerical solutions are obtained under the assumption that the Legendre polynomial expansion of the velocity distribution function can be truncated after four terms. Monte Carlo simulations are used to assess the accuracy of the new theoretical approach and the limits of the four-term approximation itself in a simple model gas with a single inelastic process. Substantial improvements are observed when using the four-term approximation for the calculation of energy distributions and transport or rate coefficients in comparison with analogous calculations performed with the conventional approach. Conditions under which the four-term approximation becomes inadequate because of the high rate of inelastic collisions are also analysed.

Riassunto

La soluzione convenzionale dell’equazione di Boltzmann per elettroni in gas in campo elettrico è estesa ad ordini superiori al primo utilizzando una nuova tecnica che supera diversi degl’inconvenienti che presentano gli approcci proposti finora. Si ottengono soluzioni numeriche nell’ipotesi che lo sviluppo in polinomi di Legendre della distribuzione delle velocità possa essere troncata al quarto termine anziché al secondo. L’accuratezza del nuovo approccio teorico e dell’approssimazione a quattro termini stessa è dettagliatamente analizzata facendo ricorso a simulazioni Monte Carlo in semplici «gas modello» con un singolo tipo di urto eccitativo. Sono messi in luce sostanziali miglioramenti della teoria per quanto riguarda il calcolo delle distribuzioni energetiche elettroniche, dei coefficienti del trasporto e dei ritmi di eccitazione quando la convenzionale approssimazione a due termini è sostituita con quella a quattro termini. Sono anche analizzate condizioni in cui comincia a diventare insufficiente la stessa approssimazione a quattro termini a causa dell’elevato ritmo delle collisioni anelastiche, cioè nelle quali diventa necessario far ricorso a sviluppi della funzione di distribuzione che includano piú di quattro polinomi di Legendre.

Резюме

Обычное двучленное решение уравнения Больцмана для электронов в газе в электрическом поле обобщается на случай более высоких порядков (выше первого). Получаются численные решения, предполагая, что разложение по полиномам Лежандра функции распределения по скоростям может быть обрезано после четырех членов. Используется моделирование Монте-Карло для оценки точности нового теоретического подхода и пределов четырехчленного приближения в простой модели газа с единственным неупругим процессом. Отмечается существенное улучщение точности, когда используется четырехчленное приближение для вычисления энергетических распределений и коэффициентов переноса, по сравнению с аналогичными вычислениями, проведенными в рамках обычного подхода. Анализируются условия, при которых четырехчленное приближение становится неадекватным из-за высокой интенсивности неупругих соударений.