The invariance of second-order functionals revisited

Summary

In this paper we have briefly considered some invariance properties of certain homogeneous functional forms of perturbative second-order energies with respect to transformations on the arguments. It has been shown that, if this energy is regarded as an Hamiltonian governing the time evolution of the arguments, which are the components of the first-order perturbed functions, thex andy couples play naturally the role of canonically conjugated co-ordinates and momenta. A search has been made for those linear transformations on these functions which preserve the above duality or reciprocity relations. It has been found that certain canonical transformations are of this type. In particular, the spinorial covariant-contravariant transformations for rotations in four-dimensional space-time.

Riassunto

In questo articolo sono considerate brevemente alcune proprietà d’invarianza, rispetto alle transformazioni sugli argomenti, di certe forme funzionali omogenee delle energie perturbative del secondo ordine. È stato provato che, se questa energia è considerata come una funzione hamiltoniana che governa l’evoluzione temporale degli argomenti, i quali sono le componenti delle funzioni perturbate del primo ordine, allora le coppie di funzionix ey assumono naturalmente il ruolo di coordinate e momenti coniugati. È stata fatta una ricerca di quelle trasformazioni lineari su queste funzioni che conservano quelle relazioni di dualità o reciprocità. Si è trovato che certe trasformazioni canoniche sono di questo tipo. In particolare, le trasformazioni spinoriali covarianti-contravarianti che rappresentano le rotazioni nello spazio-tempo quadridimensionale.

Резюме

В этой статье мы вкратце рассматриваем некоторые свойства инвариантности однородных функциональных форм для пертурбационных энергий второго порядка относительно преобразований аргументов функционалов. Показывается, что, если эта энергия рассматривается как Гамильтониан, определяющий временную эволюцию аргументов, которые являются компонентами возмущенных функций первого порядка, тоx иy играют робь канонически сопряженных координат и импульсов. Проводится поиск линейных преобразований этих функний, которые сохраняют соотношения дуальности или взаимности. Получено, что некоторые канонические преобразования являются преобразованиями этого типа. В частности, такими преобразованиями являются спинорные ковариантные-контравариантные преобразования для вращений в четырехмерном пространстве-времени.