Debye expansion and JWKB approximation for the elastic scattering of heavy charged particles

Summary

By using the Debye expansion of the scatteringS-function and the JWKB solutions of the Schrödinger equation for the spherical-well nuclear potential in the presence of the Coulomb interaction (both for a point charge and for a uniformly charged sphere), it is shown that regions of the complex λ-plane exist in which the multireflection expansion of Knoll and Schaeffer coincides with the JWKB approximation of the Debye expansion. This expansion also provides the correct analytical contribution of all the terms of the multireflection expansion in the regions of the λ-plane where the Knoll and Schaeffer technique cannot be applied, because of the absence of the subdominant exponential. The JWKB approximation gives a reasonable estimate of the exactS-function except in the neighbourhood of the λ value corresponding to the classical grazing trajectory and allows one to interpret the scattering phenomenon in terms of classical trajectories. Furthermore, the Debye expansion allows one to overcome the mathematical difficulties one meets with in the evaluation of the scattering amplitude by the saddle point method in the cases in which the deflection function shows strong oscillations (false rainbows) produced by the superposition of contributions coming from the rays directly reflected by the nuclear surface on the multireflected ones.

Riassunto

Usando lo sviluppo di Debye della funzione di diffusione e l’approssimazione JWKB per le soluzioni dell’equazione di Schrödinger del problema di diffusione da parte di una buca di potenziale complessa in presenza dell’interazione coulombiana (sia dovuta ad una carica puntiforme che ad una sfera carica), si è fatto vedere che esistono regioni del piano complesso del momento angolare nelle quali lo sviluppo in riflessioni multiple di Knoll e Schaeffer coincide con lo sviluppo di Debye. Quest’ultimo fornisce la corretta continuazione analitica di tutti i termini di riflessione multipla nelle regioni del piano del momento angolare nelle quali, mancando l’esponenziale sottodominante, la tecnica di Knoll e Schaeffer non può essere applicata. l’approssimazione JWKB dello sviluppo di Debye fornisce risultati soddisfacenti per la funzione di diffusione eccetto in una regione di valori del momento angolare nelle vicinanze del momento angolare che corrisponde all’orbita classica di contatto con la superficie del potenziale, ed inoltre permette un’interpretazione del fenomeno di diffusione in termini di traiettorie classiche Inoltre lo sviluppo di Debye permette di superare le difficoltà matematiche che si incontrano nel calcolo dell’ampiezza di diffusione con l’uso del metodo del punto a sella in quei casi nei quali, a causa della sovrapposizione dei raggi direttamente riflessi dalla superfice nucleare con quelli che subiscono una riflessione multipla, la funzione di deflessione presenta forti oscillazioni (falsi arcobaleni).

Резюме

Используя дебаевское разложениеS-функции рассеяния и ВКБ-решения уравнения Шредингера для ядерного потенциала в виде сферической ямы плюс кулоновское взаимодействие (для точечного заряда и для равномерно заряженной сферы), показывается, что существуют области в комплексной λ-плоскости, в которых разложение многократного отражения Кнолля и Шаффера совпадает с ВКБ-приближением для дебаевского разложения. Это разложение также обеспечивает правильное аналитическое продолжение всех членов разложения многократного отражения в такие области λ-плоскости, в которых техника Кнолля и Шаффера не может быть использована, из-за отсутствия субдоминантной экспоненты. ВКБ-приближение дает разумную оценку для точнойS-функции, за усключением некоторой области, в которой значение л соответствует классической скользящей траектории. ВКБ-приближение позволяет интерпретировать явление рассеяния в терминах классических траекторий. Таким образом, дебаевское разложение позволяет обойти математические трудности, которые встречаются при вычислении амплитуды рассеяния с помощью метода седловой точки в тех случаях, в которых функция преломления обнарузивает сильные осцилляции, обусловленные суперпозицией вкладов, происходящих от лучей, непосредственно отраженных ядерной поверхностью, и многократноотраженных лучей.