Spin-momentum distribution observables and asymptotic fields for fermion fields with cut-off self-interaction

Summary

For spin-1/2 fields with an interaction density which is an even-degree polynomial in the field and its derivatives the interaction HamiltonianH _I, with space and ultraviolet cut-offs is a bounded operator on Fock space. Asymptotic creation and annihilation operatorsa ^# _+- can be constructed by means of the Kato-Mugibayashi method from the creation and annihilation operatorsa ^#. For any eigenvector Φ of the total HamiltonianH = H ₀ + H_I partial isometries Ω_+- can be defined so thata ^# _+- = Ω_+- a^#Ω^* _+- on the ranges ℐ_+- of Ω_+-. Since the existence of a ground state ofH can be proven, the existence of at least one pair Ω_+- is assured. It is shown that theW*-algebraSℜ($\mathcal{O}$) generated by the spin-momentum distribution observables of the form ∫ϱa*a is maximally Abelian. The existence of the wave operators Ω_+- and the completeness of the spinmomentum distribution observables allow us to describe the measurement ofany spin and momentum of an arbitrary finite number of particles.

Riassunto

Per campi di spin 1/2 con una densità di interazione che é un polinomio di grado pari nel campo e nelle sue derivate l’hamiltoniano di interazione H_I eon tagli spaziali ed ultravioletti è un operatore limitato nello spazio di Fock. Operatori di creazione ed annichilazione a^# _+- asintotici si possono costruire col metodo di Kato-Mugibayashi dagli operatori di creazione ed annichilazionea ^#. Per ogni autovettore Φ dell’hamiltoniano totaleH = H ₀ + H_I si possono definire isometrie parziali Ω_+- cosicchéa ^# _+- = Ω_+-a^#Ω^* _+- nell’estensione ℱ_± di Ω_+-. Poiché si può dimostrare l’esistenza di uno stato fondamentale diH, l’esistenza di almeno una coppia Ω_+- é assicurata. Si mostra che laW ^* algebra ℳ$\mathcal{O}$, generata dalle osservabili della distribuzione dell’impulso di spin della forma ∫ϱa*a, é massimamente abeliana. L’esistenza degli operatori d’onda Ω_+- e la completezza delle osservabili della distribuzione dell’impulso di spin ci consentono di descrivere la misura diogni spin ed impulso di un numero arbitrario finito di particelle.

Резюме

Для полей со спинам 1/2 и c плотностью взаимодействия, кото рая представляет пол ином четных степеней поля и его производны х, гамильтони степеней поля и его пр оизводных, гамильтон иан взаимодействия Н_I c пространственньпи и ультрафиолетовьии обрезаниями являетс я взаимодействия Н_I c пр остранственньпи и ул ьтрафиолетовьии обр езаниями является ультрафиолетовьии о брезаниями является ограниченным операт ором в пространстве Ф она. Асимптотические опе раторы рождения и уничтожен ия а могут быть сконст руированы c помощью метода КатоМ угиваяпп3 из оператор ов рождения и уничтож ения а. Для любого собс твенного и уничтожения а. Для лю бого собственного вектора Ф полного гам ильтониана H = Н₀+Н1₁, можн о определить парпиаль ные изомeтрии Ω+-, так что а^#± = Ω^{Ω±а #}м*± в областях ℱ± для Ω±. Так как существова ние основного состоя ния Н может быть доказ ано, то существование, по крайней мере, быть доказано, то суще ствование, по крайней мере, одной пары ’2 является г арантированньІM. Пока зывается, что W*-алгебра ℜ2($\mathcal{O}$), образо ванная наблюдаемыми величинами спин-импу льсного распределен ия вида f а a, величинами спин-импу льсного распределен ия вида f а a, является ма ксимально абелевой. С уществование волнов ых операторов Ω±, и является максимальн о абелевой. Существов ание волновых операт оров Ω±, и волновых операторов Ω±, и полнота наблюдаемых величин спин-импульс ного распределения позво ляет нам описать изме рение любого спина и и мпульса произвольно го конечного числ спина и импульса прои звольного конечного числа частиц. частиц. (*) Переведено редакцие й.