Relativistic reference systems and motion of test bodies in the vicinity of the earth

Summary

Relativistic theory of constructing nonrotating harmonic reference systems (RS) is developed. The theory enables one to produce the celestial RS for solar-system dynamics neglecting the gravitational field of the Galaxy. Particular attention is focused on the barycentric RS (BRS) with the origin at the solar-system barycentre and the geocentric RS (GRS) with the origin at the geocentre. It is assumed therewith that the velocities of bodies are small as compared with the light velocity and the gravitational field is weak everywhere. The specific RS and the gravitational field are described by the metric tensor to be found by Newtonian approximations from the Einstein field equations with given boundary conditions. The BRS coordinates cover all the solar-system space. The GRS coordinates are initially restricted in space by the orbit of the Moon. The relationship between BRS and GRS is established by the asymptotic matching technique. The explicit transformation formulae permit to prolonge the GRS coordinates beyond the lunar orbit to cover actually all the solar-system space. The GRS equations of the Earth satellite motion have been deduced. The relativistic right-hand members of these equations contain Schwarzschild, Lense-Thirring and quadrupole terrestrial perturbations as well as tidal perturbations due to the Sun, the Moon and the major planets. The equations are derived by two different techniques. The first one implies the application of the geodesic principle to the GRS metric. The second one is based on the transformation of the BRS satellite equations of motion into the GRS equations. Both techniques result in the same final expressions.

Riassunto

Si sviluppa una teoria relativistica per costruire un sistema di riferimento armonico non rotante RS. La teoria permette di produire l’RS celeste per la dinamica del sistema solare trascurando il campo gravitazionale della galassia. Si presta una particolare attenzione all’RS baricentrico (BRS) con l’origine nel baricentro del sistema solare e all’RS geocentrico (GRS) con l’origine nel geocentro. Si presume con ciò che le velocità dei corpi siano ridotte rispetto alla velocità della luce e il campo gravitazionale sia debole dovunque. L’RS specifico e il campo gravitazionale sono descritti dal tensore metrico che si trova mediante approssimazioni newtoniane dalle equazioni del campo di Einstein con date condizioni di confine. Le coordinate BRS coprono tutto lo spazio del sistema solare. Le coordinate GRS sono inizialmente limitate nello spazio dall’orbita della Luna. Si determina la relazione tra BRS e GRS con la tecnica di adattamento asintotico. Le formule di trasformazione esplicite permettono di prolungare le coordinate GRS oltre l’orbita lunare per coprire addirittura tutto lo spazio del sistema solare. Sono state derivate le equazioni GRS del moto del satellite della Terra. I membri destri relativistici di queste equazioni contengono perturbazioni terrestri di Schwarzschild, Lense-Thirring e del quadrupolo, nonché perturbazioni di marea dovute al Sole, alla Luna e ai pianeti maggiori. Sono dedotte le equazioni con due diverse tecniche. La prima implica l’applicazione del principio geodesico alla metrica GRS. La seconda è basata sulla trasformazione delle equazioni di moto del satellite BRS in equazioni GRS. Entrambe le tecniche risultano nelle stesse espressioni finali.

Резюме

Развивается релятив истская теория для конструирования нев ращающихся гармонич еских систем отсчета. Предложенная теория позволяет полчить н отсчета. Предложенна я теория позволяет по лчить небесную систе му отсчета для солнеч ной системы, пренебре гая гравитационным п олем Галактики. Особо е вн небесную систему отс чета для солнечной си стемы, пренебрегая гр авитационным полем Г алактики. Особое вним ание уделяется бариц ентрической системе отсчета с началом в ба рицентре солнечной с истемы и ге пренебрегая гравита ционным полем Галакт ики. Особое внимание у деляется барицентри ческой системе отсче та с началом в барицен тре солнечной систем ы и геоцентрической с истеме отсчета с нача лом в геоцентре. Предп олагается, что скорос ти тел малы по сравне внимание уделяется б арицентрической сис теме отсчета с начало м в барицентре солнеч ной системы и геоцент рической системе отс чета с началом в геоце нтре. Предполагается, что скорости тел малы по сравнению со скоро стью света и грваитац ионное поле является слабым. Специальная с истема отсчета и грав итационно с началом в барицентр е солнечной системы и геоцентрической сис теме отсчета с начало м в геоцентре. Предпол агается, что скорости тел малы по сравнению со скоростью света и г рваитационное поле я вляется слабым. Специ альная система отсче та и гравитационное п оле описываются с пом ощью метрического те нзора и получаются с п омощью ньютоновых пр иближений геоцентрической сис теме отсчета с начало м в геоцентре. Предпол агается, что скорости тел малы по сравнению со скоростью света и г рваитационное поле я вляется слабым. Специ альная система отсче та и гравитационное п оле описываются с пом ощью метрического те нзора и получаются с п омощью ньютоновых пр иближений из уравнен ий поля Эйнштейна с за данными граничными у словиями. Координаты барицентриче геоцентре. Предполаг ается, что скорости те л малы по сравнению со скоростью света и грв аитационное поле явл яется слабым. Специал ьная система отсчета и гравитационное пол е описываются с помощ ью метрического тенз ора и получаются с пом ощью ньютоновых приб лижений из уравнений поля Эйнштейна с зада нными граничными усл овиями. Координаты ба рицентрической сист емы отсчета покрываю т все пространство со лнечной системы. Коор динаты геоцентричес ко сравнению со скорост ью света и грваитацио нное поле является сл абым. Специальная сис тема отсчета и гравит ационное поле описыв аются с помощью метри ческого тензора и пол учаются с помощью нью тоновых приближений из уравнений поля Эйн штейна с заданными гр аничными условиями. К оординаты барицентр ической системы отсч ета покрывают все про странство солнечной системы. Координаты г еоцентрической сист емы отсчета первонач ально ограничены в пр остранстве орбитой Л уны. Устанавливается связь между б является слабым. Спец иальная система отсч ета и гравитационное поле описываются с по мощью метрического т ензора и получаются с помощью ньютоновых п риближений из уравне ний поля Эйнштейна с з аданными граничными условиями. Координат ы барицентрической с истемы отсчета покры вают все пространств о солнечной системы. К оординаты геоцентри ческой системы отсче та первоначально огр аничены в пространст ве орбитой Луны. Устан авливается связь меж ду барицентрической и геоцентрической си стемами отсчета, испо льзуя технику асимпт отического согласо гравитационное поле описываются с помощь ю метрического тензо ра и получаются с помо щью ньютоновых прибл ижений из уравнений п оля Эйнштейна с задан ными граничными усло виями. Координаты бар ицентрической систе мы отсчета покрывают все пространство сол нечной системы. Коорд инаты геоцентрическ ой системы отсчета пе рвоначально огранич ены в пространстве ор битой Луны. Устанавли вается связь между ба рицентрической и гео центрической систем ами отсчета, использу я технику асимптотич еского согласования. Формулы преобразова ния позволяют пролон гировать координаты геоцентрической сис т метрического тензор а и получаются с помощ ью ньютоновых прибли жений из уравнений по ля Эйнштейна с заданн ыми граничными услов иями. Координаты бари центрической систем ы отсчета покрывают в се пространство солн ечной системы. Коорди наты геоцентрическо й системы отсчета пер воначально ограниче ны в пространстве орб итой Луны. Устанавлив ается связь между бар ицентрической и геоц ентрической система ми отсчета, используя технику асимптотиче ского согласования. Ф ормулы преобразован ия позволяют пролонг ировать координаты г еоцентрической сист емы отсчета за предел ы лунной орбины и покр ыть все пространство солнечной системы. Вы вод ньютоновых приближе ний из уравнений поля Эйнштейна с заданным и граничными условия ми. Координаты барице нтрической системы о тсчета покрывают все пространство солнеч ной системы. Координа ты геоцентрической с истемы отсчета перво начально ограничены в пространстве орбит ой Луны. Устанавливае тся связь между бариц ентрической и геоцен трической системами отсчета, используя те хнику асимптотическ ого согласования. Фор мулы преобразования позволяют пролонгир овать координаты гео центрической систем ы отсчета за пределы л унной орбины и покрыт ь все пространство со лнечной системы. Выво дятся уравнения движ ения спутников Земли в геоцентрической си стеме отсчета. Реляти вистские члены заданными граничным и условиями. Координа ты барицентрической системы отсчета покр ывают все пространст во солнечной системы. Координаты геоцентр ической системы отсч ета первоначально ог раничены в пространс тве орбитой Луны. Уста навливается связь ме жду барицентрическо й и геоцентрической с истемами отсчета, исп ользуя технику асимп тотического согласо вания. Формулы преобр азования позволяют п ролонгировать коорд инаты геоцентрическ ой системы отсчета за пределы лунной орбин ы и покрыть все простр анство солнечной сис темы. Выводятся уравн ения движения спутни ков Земли в геоцентри ческой системе отсче та. Релятивистские чл ены в правых частях эт их уравнений содержа т возмущения Шварцши льда, Ленца-Тирринга и квадрупольные зе барицентрической си стемы отсчета покрыв ают все пространство солнечной системы. Ко ординаты геоцентрич еской системы отсчет а первоначально огра ничены в пространств е орбитой Луны. Устана вливается связь межд у барицентрической и геоцентрической сис темами отсчета, испол ьзуя технику асимпто тического согласова ния. Формулы преобраз ования позволяют про лонгировать координ аты геоцентрической системы отсчета за пр еделы лунной орбины и покрыть все простран ство солнечной систе мы. Выводятся уравнен ия движения спутнико в Земли в геоцентриче ской системе отсчета. Релятивистские член ы в правых частях этих уравнений содержат в озмущения Шварцшиль да, Ленца-Тирринга и кв адрупольные земпные возмущения, а также пр иливные возмущения, о бусловленные Солнце м, Луной и большими пла н пространство солнеч ной системы. Координа ты геоцентрической с истемы отсчета перво начально ограничены в пространстве орбит ой Луны. Устанавливае тся связь между бариц ентрической и геоцен трической системами отсчета, используя те хнику асимптотическ ого согласования. Фор мулы преобразования позволяют пролонгир овать координаты гео центрической систем ы отсчета за пределы л унной орбины и покрыт ь все пространство со лнечной системы. Выво дятся уравнения движ ения спутников Земли в геоцентрической си стеме отсчета. Реляти вистские члены в прав ых частях этих уравне ний содержат возмуще ния Шварцшильда, Ленц а-Тирринга и квадрупо льные земпные возмущ ения, а также приливны е возмущения, обуслов ленные Солнцем, Луной и большими планетами. Уравнения выводятся с помощью двух различ ных способов. В первом подходе применяется ге геоцентрической сис темы отсчета первона чально ограничены в п ространстве орбитой Луны. Устанавливаетс я связь между барицен трической и геоцентр ической системами от счета, используя техн ику асимптотическог о согласования. Форму лы преобразования по зволяют пролонгиров ать координаты геоце нтрической системы о тсчета за пределы лун ной орбины и покрыть в се пространство солн ечной системы. Выводя тся уравнения движен ия спутников Земли в г еоцентрической сист еме отсчета. Релятиви стские члены в правых частях этих уравнени й содержат возмущени я Шварцшильда, Ленца-Т ирринга и квадруполь ные земпные возмущен ия, а также приливные в озмущения, обусловле нные Солнцем, Луной и б ольшими планетами. Ур авнения выводятся с п омощью двух различны х способов. В первом по дходе применяется ге одезический принцип к метрике геоцентрич еской системы отсчет а. Второй способ основ ан на пре ограничены в простра нстве орбитой Луны. Ус танавливается связь между барицентричес кой и геоцентрическо й системами отсчета, и спользуя технику аси мптотического согла сования. Формулы прео бразования позволяю т пролонгировать коо рдинаты геоцентриче ской системы отсчета за пределы лунной орб ины и покрыть все прос транство солнечной с истемы. Выводятся ура внения движения спут ников Земли в геоцент рической системе отс чета. Релятивистские члены в правых частях этих уравнений содер жат возмущения Шварц шильда, Ленца-Тирринг а и квадрупольные зем пные возмущения, а так же приливные возмуще ния, обусловленные Со лнцем, Луной и большим и планетами. Уравнени я выводятся с помощью двух различных спосо бов. В первом подходе п рименяется геодезич еский принцип к метри ке геоцентрической с истемы отсчета. Второ й способ основан на пр еобразовании уравне ний движений спутник ов в барицентрическо й системе отсчета в ур авнен Устанавливается свя зь между барицентрич еской и геоцентричес кой системами отсчет а, используя технику а симптотического сог ласования. Формулы пр еобразования позвол яют пролонгировать к оординаты геоцентри ческой системы отсче та за пределы лунной о рбины и покрыть все пр остранство солнечно й системы. Выводятся у равнения движения сп утников Земли в геоце нтрической системе о тсчета. Релятивистск ие члены в правых част ях этих уравнений сод ержат возмущения Шва рцшильда, Ленца-Тирри нга и квадрупольные з емпные возмущения, а т акже приливные возму щения, обусловленные Солнцем, Луной и больш ими планетами. Уравне ния выводятся с помощ ью двух различных спо собов. В первом подход е применяется геодез ический принцип к мет рике геоцентрическо й системы отсчета. Вто рой способ основан на преобразовании урав нений движений спутн иков в барицентричес кой системе отсчета в уравнения движения в геоцентрической сис теме отсчета. Оба подх ода дают одинаковый к онечный резу геоцентрической сис темами отсчета, испол ьзуя технику асимпто тического согласова ния. Формулы преобраз ования позволяют про лонгировать координ аты геоцентрической системы отсчета за пр еделы лунной орбины и покрыть все простран ство солнечной систе мы. Выводятся уравнен ия движения спутнико в Земли в геоцентриче ской системе отсчета. Релятивистские член ы в правых частях этих уравнений содержат в озмущения Шварцшиль да, Ленца-Тирринга и кв адрупольные земпные возмущения, а также пр иливные возмущения, о бусловленные Солнце м, Луной и большими пла нетами. Уравнения выв одятся с помощью двух различных способов. В первом подходе приме няется геодезически й принцип к метрике ге оцентрической систе мы отсчета. Второй спо соб основан на преобр азовании уравнений д вижений спутников в б арицентрической сис теме отсчета в уравне ния движения в геоцен трической системе от счета. Оба подхода даю т одинаковый конечны й результат. асимптотического со гласования. Формулы п реобразования позво ляют пролонгировать координаты геоцентр ической системы отсч ета за пределы лунной орбины и покрыть все п ространство солнечн ой системы. Выводятся уравнения движения с путников Земли в геоц ентрической системе отсчета. Релятивистс кие члены в правых час тях этих уравнений со держат возмущения Шв арцшильда, Ленца-Тирр инга и квадрупольные земпные возмущения, а также приливные возм ущения, обусловленны е Солнцем, Луной и боль шими планетами. Уравн ения выводятся с помо щью двух различных сп особов. В первом подхо де применяется геоде зический принцип к ме трике геоцентрическ ой системы отсчета. Вт орой способ основан н а преобразовании ура внений движений спут ников в барицентриче ской системе отсчета в уравнения движения в геоцентрической си стеме отсчета. Оба под хода дают одинаковый конечный результат. преобразования позв оляют пролонгироват ь координаты геоцент рической системы отс чета за пределы лунно й орбины и покрыть все пространство солнеч ной системы. Выводятс я уравнения движения спутников Земли в гео центрической систем е отсчета. Релятивист ские члены в правых ча стях этих уравнений с одержат возмущения Ш варцшильда, Ленца-Тир ринга и квадрупольны е земпные возмущения, а также приливные воз мущения, обусловленн ые Солнцем, Луной и бол ьшими планетами. Урав нения выводятся с пом ощью двух различных с пособов. В первом подх оде применяется геод езический принцип к м етрике геоцентричес кой системы отсчета. В торой способ основан на преобразовании ур авнений движений спу тников в барицентрич еской системе отсчет а в уравнения движени я в геоцентрической с истеме отсчета. Оба по дхода дают одинаковы й конечный результат. геоцентрической сис темы отсчета за преде лы лунной орбины и пок рыть все пространств о солнечной системы. В ыводятся уравнения д вижения спутников Зе мли в геоцентрическо й системе отсчета. Рел ятивистские члены в п равых частях этих ура внений содержат возм ущения Шварцшильда, Л енца-Тирринга и квадр упольные земпные воз мущения, а также прили вные возмущения, обус ловленные Солнцем, Лу ной и большими планет ами. Уравнения выводя тся с помощью двух раз личных способов. В пер вом подходе применяе тся геодезический пр инцип к метрике геоце нтрической системы о тсчета. Второй способ основан на преобразо вании уравнений движ ений спутников в бари центрической систем е отсчета в уравнения движения в геоцентри ческой системе отсче та. Оба подхода дают од инаковый конечный ре зультат. орбины и покрыть все п ространство солнечн ой системы. Выводятся уравнения движения с путников Земли в геоц ентрической системе отсчета. Релятивистс кие члены в правых час тях этих уравнений со держат возмущения Шв арцшильда, Ленца-Тирр инга и квадрупольные земпные возмущения, а также приливные возм ущения, обусловленны е Солнцем, Луной и боль шими планетами. Уравн ения выводятся с помо щью двух различных сп особов. В первом подхо де применяется геоде зический принцип к ме трике геоцентрическ ой системы отсчета. Вт орой способ основан н а преобразовании ура внений движений спут ников в барицентриче ской системе отсчета в уравнения движения в геоцентрической си стеме отсчета. Оба под хода дают одинаковый конечный результат. Выводятся уравнения движения спутников З емли в геоцентрическ ой системе отсчета. Ре лятивистские члены в правых частях этих ур авнений содержат воз мущения Шварцшильда, Ленца-Тирринга и квад рупольные земпные во змущения, а также прил ивные возмущения, обу словленные Солнцем, Л уной и большими плане тами. Уравнения вывод ятся с помощью двух ра зличных способов. В пе рвом подходе применя ется геодезический п ринцип к метрике геоц ентрической системы отсчета. Второй спосо б основан на преобраз овании уравнений дви жений спутников в бар ицентрической систе ме отсчета в уравнени я движения в геоцентр ической системе отсч ета. Оба подхода дают о динаковый конечный р езультат. геоцентрической сис теме отсчета. Релятив истские члены в правы х частях этих уравнен ий содержат возмущен ия Шварцшильда, Ленца-Тирринга и квадрупол ьные земпные возмуще ния, а также приливные возмущения, обусловл енные Солнцем, Луной и большими планетами. У равнения выводятся с помощью двух различн ых способов. В первом п одходе применяется г еодезический принци п к метрике геоцентри ческой системы отсче та. Второй способ осно ван на преобразовани и уравнений движений спутников в барицент рической системе отс чета в уравнения движ ения в геоцентрическ ой системе отсчета. Об а подхода дают одинак овый конечный резуль тат. члены в правых частях этих уравнений содер жат возмущения Шварц шильда, Ленца-Тирринг а и квадрупольные зем пные возмущения, а так же приливные возмуще ния, обусловленные Со лнцем, Луной и большим и планетами. Уравнени я выводятся с помощью двух различных спосо бов. В первом подходе п рименяется геодезич еский принцип к метри ке геоцентрической с истемы отсчета. Второ й способ основан на пр еобразовании уравне ний движений спутник ов в барицентрическо й системе отсчета в ур авнения движения в ге оцентрической систе ме отсчета. Оба подход а дают одинаковый кон ечный результат. возмущения Шварцшил ьда, Ленца-Тирринга и к вадрупольные земпны е возмущения, а также п риливные возмущения, обусловленные Солнц ем, Луной и большими пл анетами. Уравнения вы водятся с помощью дву х различных способов. В первом подходе прим еняется геодезическ ий принцип к метрике г еоцентрической сист емы отсчета. Второй сп особ основан на преоб разовании уравнений движений спутников в барицентрической си стеме отсчета в уравн ения движения в геоце нтрической системе о тсчета. Оба подхода да ют одинаковый конечн ый результат. квадрупольные земпн ые возмущения, а также приливные возмущени я, обусловленные Солн цем, Луной и большими п ланетами. Уравнения в ыводятся с помощью дв ух различных способо в. В первом подходе при меняется геодезичес кий принцип к метрике геоцентрической сис темы отсчета. Второй с пособ основан на прео бразовании уравнени й движений спутников в барицентрической с истеме отсчета в урав нения движения в геоц ентрической системе отсчета. Оба подхода д ают одинаковый конеч ный результат. возмущения, обусловл енные Солнцем, Луной и большими планетами. У равнения выводятся с помощью двух различн ых способов. В первом п одходе применяется г еодезический принци п к метрике геоцентри ческой системы отсче та. Второй способ осно ван на преобразовани и уравнений движений спутников в барицент рической системе отс чета в уравнения движ ения в геоцентрическ ой системе отсчета. Об а подхода дают одинак овый конечный резуль тат. планетами. Уравнения выводятся с помощью д вух различных способ ов. В первом подходе пр именяется геодезиче ский принцип к метрик е геоцентрической си стемы отсчета. Второй способ основан на пре образовании уравнен ий движений спутнико в в барицентрической системе отсчета в ура внения движения в гео центрической систем е отсчета. Оба подхода дают одинаковый коне чный результат. различных способов. В первом подходе приме няется геодезически й принцип к метрике ге оцентрической систе мы отсчета. Второй спо соб основан на преобр азовании уравнений д вижений спутников в б арицентрической сис теме отсчета в уравне ния движения в геоцен трической системе от счета. Оба подхода даю т одинаковый конечны й результат. геодезический принц ип к метрике геоцентр ической системы отсч ета. Второй способ осн ован на преобразован ии уравнений движени й спутников в барицен трической системе от счета в уравнения дви жения в геоцентричес кой системе отсчета. О ба подхода дают одина ковый конечный резул ьтат. системы отсчета. Втор ой способ основан на п реобразовании уравн ений движений спутни ков в барицентрическ ой системе отсчета в у равнения движения в г еоцентрической сист еме отсчета. Оба подхо да дают одинаковый ко нечный результат. преобразовании урав нений движений спутн иков в барицентричес кой системе отсчета в уравнения движения в геоцентрической сис теме отсчета. Оба подх ода дают одинаковый к онечный результат. барицентрической си стеме отсчета в уравн ения движения в геоце нтрической системе о тсчета. Оба подхода да ют одинаковый конечн ый результат. движения в геоцентри ческой системе отсче та. Оба подхода дают од инаковый конечный ре зультат. подхода дают одинако вый конечный результ ат.