On unbiased Lehmann-estimators of a variance of an exponential distribution with quadratic loss function

Summary

Lehmann in [4] has generalised the notion of the unbiased estimator with respect to the assumed loss function. In [5] Singh considered admissible estimators of function λ^-r of unknown parameter λ of gamma distribution with density$f\left( {x|\lambda , b} \right) = \lambda ^{b - 1} e^{\lambda x} x^{b - 1} /\Gamma \left( b \right)$,x> 0, whereb-known parameter, for loss function$L(\hat \lambda ^{ - r} ,\lambda ^{ - r} ) = (\hat \lambda ^{ - r} - \lambda ^{ - r} )^2 /\lambda ^{2r}$.

Goodmann in [1] choosing three loss functions of different shape found unbiased Lehmann-estimators, of the variance σ² of the normal distribution. In particular for quadratic loss function he took weight of the formK(σ²)=C andK(σ²)=(σ²)^-2 only.

In this work we obtained the class of all unbiased Lehmanns-estimators of the variance λ² of the exponential distribution, among estimators of the form$\alpha (n)(\mathop \sum \limits_l^n X_i )^2 - ie$ functions of the sufficient statistics-with quadratic loss function with weight of the form$K(\lambda ^2 ) = C(\lambda ^2 )^{C_1 }$,C>0.

Resumen

Lehmann en su trabajo [4] generalizó la idea del estimador sin vías en relación a la aceptación de la función de pérdidas. En el trabajo [5] Singh considera de estimadores admisibles para la función λ^-r parámetro desconocido λ de la distribución de gamma, de densidad$f\left( {x|\lambda , b} \right) = \lambda ^{b - 1} e^{\lambda x} x^{b - 1} /\Gamma \left( b \right)$,x>0,b>0 parámetro conocido, de la función de pérdidas resulta$L(\hat \lambda ^{ - r} ,\lambda ^{ - r} ) = (\hat \lambda ^{ - r} - \lambda ^{ - r} )^2 /\lambda ^{2r}$.

Goodman en su trabajo [1] acumulando 3 formas diferentes de funciones de pérdidas encontró estimadores sin biases en el sentido de Lehmann de la variancia de σ² de una distribución normal, en particular para la función de pérdidas$L(\hat \sigma ^2 ,\sigma ^2 ) = K(\sigma ^2 ) (\hat \sigma ^2 - \sigma ^{ - 2} )^2$ con los pesos, solo de la formaK(σ²)=C,K(σ²)=(σ²)^-2.

En su trabajo distinguida la clase de todos los estimadores sin biases obtenidos en el sentido de Lehmann de la variancia λ² en la distribución exponencial, entre los estimadores de forma$\alpha (n)(\mathop \sum \limits_l^n X_i )^2$ así pues de la función estadística suficiente— por una función de pérdidas al cuadrado con los pesos de la forma$K(\lambda ^2 ) = C(\lambda ^2 )^{C_1 }$,C>0.

Palabras y frases. Estimador sin vías en el sentido de Lehmann, función de pérdidas, riesgo mínimo, suficiente estadística.