Estimation of the parameters of the mixturek≥2 of logarithmic-normal distributions

Summary

In the mixturek≥2 of logarithmic-normal distributions, with density function (1), the parametersμ ₁,...,μ _k satisfying conditions (3) are unknown. Using moments of ordersr =−k, −k+1 ... 0, 1,...,k−1 we get a system of 2k equations (8) an equivalent of matrix equation (10). The equation (13) has exactly one solution with regard toA. If in the equation (13) we substitute the unbiased and consistent estimators$\hat D_r$ for the coefficientsD _r we can get the matrixA with the estimators$\hat a_i$ of the coefficientsa _i in the equation (11) and the estimators of the roots of the above equationsC ₁<...<C _k . Consequently on the basis of (6) we get the estimatorsμ _i ,i= 1,...,k. Similarly on the basis of the equation (16) and the condition (3) we get the estimators of the remaining parameters. The author does not know any other papers dealing with the estimation of the mixture parameters of finite number of identical distributions where moments of negative order are used.

Resumen

En la mezclak≥2 de las distribuciones logarímico-normales de la densidad del radical (1) desconocemos los parámetrosμ ₁,...,μ _k que cumplen las condiciones (2) y los parámetrosp ₁,...,p _k que cumplen las condiciones (3). Usando los momentos de las filasr=−k, −k+1,..., 0, 1,...,k−1 recibimos un sistema de ecuaciones (8) equivalente a la ecuación de la matriz (10). La ecuación (13) tiene precisamente una solución con respecto aA. Al sustituir en (6) las cantidadesD _r por sin biases y conforme estimadores$\hat D_r$ se puede determinar la matrizA de los estimadores$\hat a_i$ de los coeficientesa _i de la ecuación (11) y más —los estimadores de sus radicalesC ₁<...<C _n . En consecuencia, basándonos en (6) encontramosμ _i , i=1,...,k. Igualmente, de la ecuación (16) y de la condición (3) se determina los estimadores de los demás parámetros. El autor no conoce otro trabajo que aproveche los momentos de las filas negativas en el problema de la estimación de los parámetros de la mezcla del libre y finito número de las distribuciones.