Isospectral matrices and polynomials

Summary

It is proven, by purely algebraic techniques, that the matrixN, of (arbitrary) ordern, defined by$N_{jk} = \delta _{jk} x_j \sum\limits_{l = 1}^n {\prime \left( {x_j - x_l } \right)^{ - 1} + \left( {1 - \delta _{jk} } \right)x_j \left( {x_j - x_k } \right)^{ - 1} }$ satisfies the Lax-type matrix equation.N= [M, N]. Here the dot indicates differentiation with respect tot andx _i ≡ x_i(t) arearbitrary functions oft. The explicit form of the matrixM is exhibited, as well as the left eigenvectors ofN (the eigenvalues ofN, that coincide with the firstn nonnegative integers, and its right eigenvectors were already known).

Riassunto

Si dimostra con tecniche puramente algebriche che la matriceN, di ordinen (arbitrario), definita dalla formula$N_{jk} = \delta _{jk} x_j \sum\limits_{l = 1}^n {\prime \left( {x_j - x_l } \right)^{ - 1} + \left( {1 - \delta _{jk} } \right)x_j \left( {x_j - x_k } \right)^{ - 1} }$ obbedisce ad uu’equazione matricale del tipo di Lax..N= [M,N]. Qui il punto soprascritto indica differenziazione rispetto alla variabilet e le quantitàx _i =x _i (t) sono funzioni arbitrarie dit. Si esibisce la forma explicita della matriceM, come anche quella degli autovettori a sinistra diN (gli autovalori diN, che coincidono con i primin interi non negativi, e gli autovettori a destra diN erano già noti).

Резюме

Доказы вается c помощью алгебраических преобразований, что матрица N, произвольного порядка и, определенная соотношением N_jk=δ_jkх_j Е’ (х_j-х_l ^-1 определенная соотношением N_jk=δ_jkх_j Е’ (х_j-х_l ^-1 l=1 -(1 -δ_lк)х_j(х_j-х_k)^-1, удовлетворяет матричному уравнению типа ЛаксаN=[M, N]. B этом уравнении точка означает дифференцирование по времени t, и х_j означает дифференцирование по времени t, и х_j≡ х_j(t) являются произвольными функциями t. Явная форма матрицы M обнаруживает являются произвольными функциями t. Явная форма матрицы M обнаруживает матрицы M обнаруживает также левосторонние собственные векторы N (собственные значения N, которые совпадают c первыми н неотрицательными целыми числами), a правосторонние собственные векторы являются известными. являются известными.