Covariant loops and strings in a positive definite Hilbert space

Summary

Relativistic loops and strings are defined in the conventional way as solutions of a one-dimensional wave equation with certain boundary conditions and satisfying the orthogonal gauge conditions. Conventional pseudo-Cartesian co-ordinates (rather than null-plane co-ordinates) are used. The creation and annihilation operator four-vector α ^† _μ anda _μ are required to be spacelike (orthogonal to the total momentumP ^μ), so that the resulting Fock spaceH ₊ is positive definite. This requirement is shown to be mathematically consistent with Poincaré invariance and to impose no additional physical constraints on the system. It can be implemented in a canonical realization of the Poincaré algebra as a condition on state vectors, or in a noncanonical realization as an operator equation, as is done here. The spaceH ₊ is further restricted by the Virasoro conditions to a physical subspace Φ which is of course also positive definite. In this way there arises no critical-dimension problem and Poincaré invariance holds also in 3+1 dimensions. The energy and spin spectra are the same as usual, leading to linear Regge trajectories, except that there are no tachyons and no zero-mass states. The leading Regge trajectory has negative intercept.

Riassunto

Si definiscono cappi e corde relativistici in maniera convenzionale come soluzioni di un'equazione d'onda unidimensionale con certe condizioni di contorno e che soddisfino condizioni ortogonali di gauge. Si usano coordinate convenzionali pseudocartesiane (piuttosto che coordinate del piano nullo). Si richiede che i quadrivettori degli operatori di creazione e annichilazionea ^† _μ ea _μ siano di tipo spaziale (ortogonali rispetto all'impulso totaleP ^μ), cosicché lo spazio di FochH ₊ risultante è positivo definito. Si mostra che questa condizione è matematicamente in accordo con l'invarianza di Poincaré e che non impone ulteriori costrizioni fisiche al sistema. Essa può essere effettuata in una realizzazione canonica dell'algebra di Poincaré come condizione ai vettori di stato, o in una realizzazione non canonica come un'equazione operatoriale, come in questo contesto. Lo spazioH ₊ è ulteriormente ristretto dalle condizioni di Virasoro al sottospazio fisico Φ che naturalmente è pure positivo definito. In questo modo non sorgono problemi di dimensione critica e l'invarianza di Poincarè è valida anche in 3+1 dimensioni. Gli spettri di spin e di energia sono i soliti che conducono a traiettorie di Regge lineari, eccetto per il fatto che non ci sono tachioni e neanche stati a massa nulla. La traiettoria principale di Regge ha intercetta negativa.

Резюме

Определяются релятивистские петли и струны как решения одномерного волнового уравнения с определенными граничными условиями и, удовлетворяющие ортогональным калибровочным условиям. Используются общепринятые псевдодекартовы координаты (а не координаты нулевой плоскости). Требуется, чтобы четырех-векторы операторов рождения и аннигиляцииa ^† _μ иa _μ были пространственнопдобными (ортогональными полному импульсуP ^μ), таким образом, результирующее пространство ФокаH ₊ является положительно определенным. Показывается, что это требование математически соответствует инва-риантности Пуанкаре и не налагает никаких дополнительных ограничений на систему. Это ограничение выполняется при канонической реализации алгебры Пуанкаре, как условие на векторы состояний, или при неканонической реализации, как операторное уравнение. ПространствоH ₊ сводится условиями Вирасоро к физическому подпространству Φ, которое также является положительно опреде-ленным. При таком подходе не возникает проблемы критической размерности и инвариантность Пуанкаре имеет место также в случае 3+1 измерений. Спектры энергии и спина являются такими же, как для линейных траекторий Редже, за исключением того, что не существует тахионов и сотсояний с нулевой массой. Главная траектория Редже имеет отрицательное пересечение.