Construction of currents in a Gauge-invariant spinor theory

Summary

A 2-component scale-invariant Weyl-spinor theory involving noncanonical spinor fields of dimension 1/2 with quartic self-interaction in which the coupling constant is adjusted in such a way that—according to an earlier prescription—the theory is invariant under a phase-gauge transformation (gauge invariance of the second kind), is investigated. In this theory the formal «current» :ψ*σ_μψ(x) plays the role of the gauge-variant vector potential. The current operators are constructed as the finite local generators of the unitary transformation in the quantum-mechanical state space corresponding to constant phase transformations of the field operators. The gauge-invariant currents turn out of be of the form$\sim :\psi *\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}$}} {\partial } _\aleph \sigma _\mu \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}$}} {\partial } ^\aleph \psi :(x)$. They are not conserved because to an Adler-type term which occurs in a definite form. This current is essentially identical to the gauge-invariant current$:\psi _c^* \bar \sigma _\mu \psi _c :(x)$ if the canonical field is identified as ψ_c∼iσ^μ∂_μψ. Expressions for the energy-momentum operatorT _μν and the relativistic angular momentum operatorsM _λμν are given and their conservation indicated. As a second step a 4-component Dirac theory with (v-a) coupling is considered which is adjusted to be invariant under chiral phase-gauge transformations (U ₁⊗U ₁ of the second kind). This theory is intimately related to the 2-component Weyl theory. Consequently one finds that both the vector and the axial vector currents invariant under both gauge transformations are not conserved. The conservation of the vector current, however, can be established by relaxing the invariance of the currents under γ₅-gauge transformations whereas the conservation of the axial vector can only be arranged if the invariance under both gauge transformations is given up.

Riassunto

Si studia una teoria degli spinori di Weyl invariante di scala, a 2 componenti, che coinvolge campi spinoriali non canonici di accoppiamento e adattata in modo tale che — secondo una precedente prescrizione_— la teoria sia invariante rispetto ad una trasformazione di gauge di fase (invarianza di gauge di seconda specie). In questa teoria la «corrente» formale ψ*σ_μψ:(x) ha il ruolo del potenziale vettore variabile di gauge. Si costruiscono gli operatori della corrente come generatori locali finiti della trasformazione unitaria nello spazio degli stati della meccanica quantistica corrispondenti a trasformazioni di fase costanti degli operatori di campo. Le correnti invarianti di gauge risultano essere della forma$\sim :\psi *\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}$}} {\partial } _\aleph \sigma _\mu \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}$}} {\partial } ^\aleph \psi :(x)$. Esse non sono conservate a causa di un termine del tipo di Adler che interviene in forma definita. Questa corrente è essenzialmente identica ad una corrente invariante di gauge$:\psi _c^* \bar \sigma _\mu \psi _c :(x)$ se il campo canonico è identificato come ψ₀∼iσ^μ∂_μψ. Si danno espressioni per l'operatore dell'energia-impulsoT _μν e per gli operatori relativistici del momento angolareM _μν. e si indica la loro conservazione. Come secondo passo si studia una teoria di Dirac a 4 componenti con accoppiamentov-a, che è adattata in modo da essere invariante rispetto a trasformazioni chirali di gauge di fase (U ₁⊗U ₁ di seconda specie). Questa teoria è intimamente connessa con la teoria di Weyl a 2 componenti. Consequentemente si trova che sia la corrente vettoriale che quella vettoriale assiale invarianti rispetto ad entrambe le trasformazioni di gauge non sono conservate. Si può tuttavia confermare la conservazione della corrente vettoriale attenuando l'invarianza delle correnti rispetto alle trasformazioni di gauge γ₅, mentre si può raggiungere la conservazione della corrente vettoriale assiale solo se si abbandona l'invarianza rispetto ad entrambe le trasformazioni di gauge.