Harmonic-oscillator pattern arising from an algebraic approach to chiral symmetry

Summary

In a previous work we proposed a saturation scheme for theSU ₃⊗SU ₃ chiral algebra within an infinite set ofSU ₆⊗O ₃ states. A mixing operator was introduced which transforms the axial charges of theSU ₆ solution into the physical ones,Q _i5. Here we saturate the Weinberg equation for the (mass)² operator [Q ⁺₅ , [Q ⁺₅ ,m ²]]=0, between meson states, in a perturbative approach. The generatorZ of the mixing operators, for which formerly only the transformation properties underSU ₆×O ₃ were given, is now completely established asZ=(W×M) _z , whereW is theW-spin operator andM is the co-ordinate of the three-dimensional harmonic oscillator. In a perturbative expansion of the (mass)² operator, the lowest term consists of two pieces, the harmonic-oscillator energy and a spin-orbit coupling of the form (−1)^L+1(L·S+1/2). The resulting (mass)² consists of families of equispaced linearly rising trajectories.

Riassunto

Lo schema di saturazione dell'algebra chiraleSU ₃⊗SU ₃ in un insieme infinito di stati diSU ₆⊗O ₃ introdotto in un precedente lavoro viene qui completamente definito imponendo le equazioni di Weinberg per l'operatore di massa [Q ⁺₅ , [Q ⁺₅ ,m ²]]=0. Il generatore della trasformazione delle cariche assiali diSU ₆ in quelle fisiche,Z, è univocamente determinato:Z=(W×M) _z doveW è ilW-spin eM l'operatore di posizione dell'oscillatore armonico statico. All'ordine più basso dello sviluppo perturbativo l'operatore di massa consta di due parti: l'energia dell'oscillatore e in termini di spin orbita (−1)^L+1(L·S+1/2). Lo spettro è costituito da sei famiglie di traiettorie lineari equispaziate.

Резюме

В предыдущей работе мы предложили схему насыщения дляSU ₃⊗SU ₃ чиральной алгебы внутри бесконечной системыSU ₆⊗O ₃ состояний. Вводится оператор смешивания, который преобразует аксиальные заряды решенияSU ₆ в физические зарядыQ _i5. Здесь мы насьщаем уравнение Вейнберга для оператора квадрата массы [Q ⁺₅ , [Q ⁺₅ ,m ²]]=0, между мезонными состояниями, в подходе теории возмущений. ГенераторZ операторов смешивания, для которых формально заданы только трансформационные свойства относительноSU ₆×O ₃, теперь полностью определен в видеZ=(W×M) _z гдеW естьW спиновый оператор иM есть координата трехмерного гармонического осциллятора. В разложении теории возмущений оператора квадрата массы низший член состоит из двух частей, энергии осциллятора и спин-орбитальной связи вида (−1)^L+1(L·S+1/2). Результирующий квадрат массы состоит из семейств равноотстоящих линейно возрастающих траекторий.