A polynomial quadrature method for half-range neutron transport problems

Summary

The properties of the two orthonormal polynomial sets associated with the two half-range weight functions in neutron transport problems are further investigated. Transformation formulae from one set to the other are generalized and thence a limit expression for one of the weight functions is obtained in the form of a polynomial quotient. The two highest algebraic degree of precision quadrature systems related to the two orthonormal polynomial sets are then applied (with special provisos) to singular-type transport integrals and to the representation, in terms of quadrature sums, of the extended orthogonality and completeness relations for the Case eigenfunctions. The quadrature formalism is finally exemplified on the standard half-range transport problems. Tables for nodes and quadrature coefficients are given, and an appendix deals with the interconnection between the moments of different order of a weight function.

Riassunto

Sono ulteriormente studiate le proprietà delle due classi di polinomi ortogonali associate alle due funzioni peso per il semintervallo nei problemi di trasporto neutronico. Si generalizzano le formule di trasformazione da una classe all’altra ed indi si ricava un’espressione limite, sotto forma di quoziente polinomiale, per una delle funzioni peso. I due sistemi di quadratura di massima precisione algebrica, associati alle due classi di polinomi ortogonali, sono poi applicati (con opportune norme) ad integrali del trasporto di tipo singolare ed alla rappresentazione in termini di somme di quadratura delle relazioni generalizzate di ortogonalità e di completezza per le autofunzioni di Case. Il formalismo di quadratura è infine esemplificato sui problemi di trasporto standard del semintervallo. Sono presentate tavole per i nodi ed i coefficienti di quadratura ed un’appendice tratta delle relazioni intercorrenti tra i momenti di diverso ordine di una funzione peso.

РЕжУМЕ

ИсслЕДУУтсь сВОИстВ А ДВУх сИстЕМ ОРтОгОНАльНых пОлИН ОМОВ, сВьжАННых с ДВУМь ВЕс ОВыМИ ФУНкцИьМИ Дль пОлУИНтЕРВАлА В пРОБ лЕМЕ тРАНспОРтА НЕИтРОНОВ. ОБОБЩАУтс ь ФОРМУлы пРЕОБВАжОВ АНИИ От ОДНОИ сИстЕМы к ДРУгО И. пОлУЧАЕтсь пРЕДЕльН ОЕ ВыРАжЕНИЕ Дль ОДНО И ВЕсОВОИ ФУНкцИИ В ВИДЕ ОтНОшЕ НИь пОлИНОМОВ. жАтЕМ ИспО льжУУтсь ДВЕ сИстЕМы кВАДРАтУР с МАксИМАльНОИ АлгЕБР АИЧЕскОИ тОЧНОстьУ, сВьжАННыЕ с ДВУМь ОРтОНОРМИРОВ АННыМИ сИстЕМАМИ пОлИНОМОВ (с сООтВЕтстВУУЩЕИ НО РМОИ), Дль тРАНспОРтНы х ИНтЕгРАлОВ сИНгУльР НОгО тИпА И Дль пРЕДстАВлЕ НИь, В ВИДЕ сУММ кВАДРА тУР, ОБОБЩЕННых сООтНОшЕ НИИ ОРтОгОНАльНОстИ И пОлНОты Дль сОБстВЕ ННых ФУНкцИИ кЕИсА. ФО РМАлИжМ кВАДРАтУР ИллУстРИРУЕтсь НА пР ИМЕРЕ стАНДАРтНых пР ОБлЕМ пЕРЕНОсА НА пОлУИНтЕ РВАлЕ. пРИВОДьтсь тАБлИцы Д ль УжлОВ И кОЁФФИцИЕН тОВ кВАДРАтУР. В пРИлОжЕН ИИ ОБсУжДАЕтсь ВжАИМОсВьжь МЕжДУ МО МЕНтАМИ РАжлИЧНых пО РьДкОВ ВЕсОВОИ ФУНкцИИ.