Poincaré-invariant Hamiltonian dynamics with a physical «common time»

Summary

We discuss a Poincaré-invariant Hamiltonian dynamics which allows a single physical «common time» for classical manyparticle systems. We consider in detail two particles interacting via a common potentialV ₁=V ₂=V(r ²), 2r ^λ=x ^λ₁ −x ^λ₂ and satisfying the constraintsK _a≡p ²_a +V_a=0,a=1,2. The equations of motion automatically lead to the results i) (p ^λ₁ +p ^λ₂ )r _λ=0 provided dV(r ²)/dr ²≠0 and ii)K ₁ andK ₂ satisfy the first-class condition {K ₁,K ₂}=0. In such a formalism, the objective reality of world-lines for point particles is retained and is compatible with the existence of interaction in the four-dimensional Hamiltonian dynamics.

Riassunto

Si discute la dinamica hamiltoniana invariante secondo Poincaré che permette un singolo «tempo comune» fisico per sistemi classici a molte particelle. Si considerano in dettaglio due particelle interagenti attraverso un potenziale communeV ₁=V ₂=V(r ²), 2r ^λ=x ^λ₁ −x ^λ₂ e che soddisfa i vincoliK _a≡p ²_a +V_a=0,a=1,2. Le equazioni di moto portano automaticamente ai risultati i) (p ^λ₁ +p ^λ₂ )r _λ=0 se dV(r ²)/d ²≠0 e ii)K ₁ eK ₂ soddisfano la condizione di prima classe {K ₁,K ₂}=0. In tale formalismo, si fa propria la realtà obbiettiva di linee di universo per particelle puntiformi, compatibile con l'esistenza d'interazione nella dinamica hamiltoniana quadridimensionale.

Резюме

Мы обсуждаем Пуанкаре-инвариантную гамильтонову динамику, которая допускает единственное физическое «общее время» для классических многочастичных систем. Мы подробно рассматриваем две частицы, вааимодействующие через обший потенциалV ₁=V ₂=V(r ²), 2r ^λ=x ^λ₁ −x ^λ₂ и удовлетворяюшие ограничениямK _a≡p ²_a -m ²_a +V_a=0,a=1,2. Уравнения движения автоматически приводят к результатам: 1) (p ^λ₁ +p ^λ₂ )·r _λ=0, при условии, что dV(r²)/dr ²≠2 и 2)K ₁ иK ₂ удовлетворяют условию первого класса {K ₁,K ₂}=0. В таком фармализме для точечных частиц обьективная реальность мировых линий сохраняется и является совместимой с существованием взаимодействия в четырехмерной гамильтоновой динамике.