Minimax theory simplified

Summary

New proofs of the minimax and the maximin theorems for eigenvalues of a semi-bounded self-adjoint operator on a Hilbert space are presented in which these theorems are shown to be trivial consequences of even more trivial lemmas. It is claimed that almost all inequalities concerning eigenvalues of such operators which were hitherto supposed to be derivable only through the minimax and the maximin theorems follow directly from the primitive lemmas. The radical simplification achieved is expected to facilitate further development of the subject.

Riassunto

Si presentano nuove prove dei teoremi minimax e maximin per gli autovalori di un operatore autoaggiunto semilimitato su uno spazio di Hilbert, in cui si dimostra che questi teoremi sono conseguenze banali di lemmi ancor piú banali. Si afferma che quasi tutte le disuguaglianze riguardanti gli autovalori di tali operatori, ritenute fin qui ottenibili solo attraverso i teoremi minimax e maximin, si deducono direttamente dai lemmi originari. Si prevede che la radicale semplificazione ottenuta possa facilitare uno sviluppo ulteriore di questo argomento.

Резюме

Приводятся новые доказательства минимаксимальной и максиминимальной теорем для собственных значений полуограниченного самосопряженного оператора на гильбертовом пространстве. В работе показывается, что эти теоремы являются тривиальными следствиями более тривиальных лемм. Требуется, чтобы почти все неравенства, касающиеся собственных значений таких операторов, которые, как до сих пор предполагалось, получаются только при помоши минимаксимальной и максиминимальной теорем, непосредстевнно следовали бы из первичных лемм. Ожидается, что полученное радикальное упрошение облегчает дольнейшее исследование проблемы.