Some analytic properties of a decay amplitude with final state interactions

Summary

The simplest vertex-type diagrams for K → 3π decay contain an internal double pion line: when the total rest-mass parameter λ of this line is taken as discrete, the amplitude possesses on the physical sheet an anomalous branch point above the normal one, subject to the condition (M² − μ²) /2 < λ² − (M μ)² withM the kaon andμ the pion mass. On integrating over λ² this singularity is eliminated. In order to understand the amplitude fully, we must consider it temporarily as a function of two complex variables, in which a double dispersion representation is found to hold. The spectral functions are examined in semiclosed form to exemplify these statements, and to give a perturbationtheory illustration of some of the popular approximations in calculations on this decay.

Riassunto

I più semplici diagrammi del tipo a vertice per il decadimento K → 3π contengono una linea interna per il doppio pione: se si prende come quantità discreta il parametroλ della massa totale di riposo di quest a linea, l’ampiezza possiede sul foglietto fisico, al di sopra di quello normale, un pun to anomalo di branching, sottoposto alla condizione (M² - μ²)/2 < λ² < (M -μ)², in cuiM è la massa del kaone eμ quella del pione. Per integrazione in λ² si elimina questa singolarità. Per comprendere appieno l’ampiezza, dobbiamo considerarla temporaneamente come funzione di due variabili complesse, in cui si tvova che è valida una rappresentazione con doppia dispersione. Per fare un esempio di queste affermazioni e per dare una illustrazione in Teoria della perturbazione di alcune delle approssimazioni più comuni nei calcoli di quesro decadimento, si esaminano le funzioni spettrali in forma semichiusa.