Application of Mercer’s theorem in field theory

Summary

The States of boson or fermion fields, localized in a finite volumeV, are characterized by the mean values of the field operator products. The states that are considered here are normal and such that these mean values are Gaussian (boson) or anti-Gaussian (fermion) and invariant by an arbitrary change-of-phase origin. They are said to belong toC. For the states ofC, a canonical form of the density operator is explicitly given by use of Mercer’s theorem. This canonical form is shown to be chaotic if the mean values are totally translationally invariant and pseudochaotic otherwise. Moreover the locally normal gauge-invariant quasi-free states of infinite systems are shown to be the limit ofC whenV goes to infinity. As a consequence, the quantum boson characteristic functional associated with such a quasi-free state can be considered as the limit whenV goes to infinity of the boson probabilistic characteristic functional associated with a (pseudo-) chaotic state. Hence, this quantum boson characteristic functional provides aprobabilistic description of (pseudo-) chaotic states whenV goes to infinity.

Riassunto

Gli stati dei campi bosonici o fermionici, localizzati in un volume finito, sono caratterizzati dai valori medi dei prodotti degli operatori di campo. Gli stati qui considerati sono normali e tali che questi valori medi sono gaussiani (bosoni) od antigaussiani (fermioni) ed invarianti rispetto ad un’origine arbitraria del cambiamento di fase. Si dice che essi appartengono aC. Per gli stati diC si dà esplicitamente una forma canonica dell’operatore di densità facendo uso del teorema di Mercer. Si mostra che questa forma canonica è caotica se i valori medi sono totalmente invarianti alla traslazione, altrimenti sono pseudocaotici. Inoltre si dimostra che gli stati quasi liberi, invarianti di gauge, loealmente nornali, di sistemi infiniti sono il limite diC quandoV tende all’infinito. In conseguenza il funzionale caratteristico bosonico quantistico associato con tale stato quasi libero può essere considerate il limite, al tendere diV all’infinito, del funzionale caratteristico probabilistico bosonico associato ad uno stato (pseudo) caotico. Quindi questo funzionale caratteristico bosonico quantistico fornisce una descrizioneprobabilistica degli stati (pseudo) caotici quandoV tende all’infinito.

Резюме

Состояния бозонного и фермионного полей, локализованных в кон ечном объеме V, характеризую тся средними значени ями произведений полевы х операторов. Состояни я, которые здесь рассм атриваются, являются нормальным и и такими, что эти средн ие значения являются гауссовыми (для бозонного поля) ил и антигауссовыми (для ф ермионного поля) и явл яются инвариантными относ ительно произвольного измен ения начальной фазы. Г оворят, что эти состояния принад лежат С. Для состояний из С ка ноническая форма опе ратора плотности записывае тся в явном виде с помощью теоремы Мерсера. Пока зывается, что эта каноническая форма является хаоти ческой, если средние з начения являются полностью трансляционно инвар иантными, и псевдохао тическими в противном случае. Кро ме того показывается, чт о нормальные калибро вочно инвариантные квази-с вободные состояния бесконечн ой системы представл яют предел для C, когда V стремится к брсконечности. В резу льтате этого квантов ый бозонный характеристический функционал, связанный с таким ква зи-свободным состоян ием, может быть рассмотрен как предел, когда V стре мится к бесконечност и, для бозонного вероятнос тного характеристическог о функционала, связан ного с (псевдо-) хаотическим с остоянием. Следовательно, этот к вантовый бозонный характеристический функционал обеспечи вает вероятностное описа ние (псевдо-) хаотическ их состояний, когда V стре мится к бесконечности.