Sul problema ridotto dei due corpi di massa variabile

Riassunto

L'Autore considera il problema dei due corpi rispettivamente di masseM em lentamente variabili col tempo (cioèM=M(ɛt), m=m(ɛt), con ɛ parametro positivo molto piccolo). Supponendo l'eccentricità inizialee ₀ molto piccola, ricava per la distanzar fra i due corpi la formula approssimata:

$$r(t) = \frac{{c^2 }}{B}(1 + e{}_0\cos [(1 - \frac{3}{2}e_0^2 )\int\limits_0^t {\frac{{B^2 }}{{c^3 }}dt + \varphi _0 ])} $$

dovec è la costante delle aree,B=K(M+m), (k costante di gravitazione), ϕ₀ una costante d'integrazione. L'Autore dimostra inoltre che la (1) è valida con un errore dell'ordine die ²₀ +e ₀ɛ in un intervallo di tempo dell'ordine di 1/(e ²₀ +e ₀ɛ).

Summary

The two-body problem is considered for massesM andm which are slowly variable functions of the time (i.e.M=M(ɛt), m=m(ɛt), ɛ being a small positive parameter). Assuming a small initial eccentricitye ₀, the following approximate formula for the distancer between the two bodies is obtained:

$$r(t) = \frac{{c^2 }}{B}(1 + e{}_0\cos [(1 - \frac{3}{2}e_0^2 )\int\limits_0^t {\frac{{B^2 }}{{c^3 }}dt + \varphi _0 ])} $$

wherec is the areal constant,B=K(M+m), (k is the gravitation constant) and ϕ₀ is an integration constant. Moreover formula (1) is proved to be valid within an error of the ordere ²₀ +e ₀ɛ in a time interval of the order of 1/(e ²₀ +e ₀ɛ).