A curious behavior of capillary surfaces

Sunto

È noto che assegnato un dominio di baseΩ ed un angolo di contattoγ, esiste un numero critico γ₀, 0 ⩽γ₀, ⩽π/2 tale che una soluzione suΩ dell’equazione scalare di capillarità in assenza di forze esterne (e.g. gravità), esiste se γ₀, 0 ⩽γ, ⩽π/2, e cessa di esistere se 0 ⩽γ ⩽γ₀ . In particolare, seΩ è un disco circolare, allora esiste una soluzione per ogniγ, ed è unica a meno di una costante additiva. Per un dominio regolare a tratti, che non sia circolare, vi sarà un puntoP della frontiera in cui la curvatura interna assume valore massimoK _M. Noi supponiamo che una soluzione esista per tale dominio, e ci chiediamo se continui ad esistere una soluzione quando il dominio è approssimato ad uno circolare regolarizzandolo con un arco interno di curvatura costanteK<K _M. Ciò avviene in molti casi, ad esempio seΩ è un rettangolo la regolarizzazione diminuisce γ₀. Nella presente nota, proviamo che la risposta al nostro quesito risulta negativa. A tal fine, diamo un esempio di dominio convessoΩ nel quale il valoreK _M è raggiunto solo in un punto isolato, per il quale la regolarizzazione in quel punto trasforma esistenza in non esistenza.

Abstract

It is known that for a given base domainΩ and «contact angle»γ, there will be a critical γ₀, 0 ⩽γ₀, ⩽π/2., such that a solution overΩ of the scalar capillarity equation in the absence of external (e.g. gravity) force field will exist if γ₀, 0 ⩽γ, ⩽π/2, and will fail to exist if 0 ⩽γ ⩽γ₀. In the particular case for whichΩ is a circular disk, a solution exists for everyγ, and is unique up to an additive constant. For a piecewise smoothΩ that is not circular, there will be a boundary pointP of maximal inward directed curvatureK _M (at a protruding corner we defineK _M=∞). We suppose that a solution exists for such a domain, and ask whether a solution continues to exist if the domain is made closer to circular by smoothing with an inscribed interior arc of constant curvatureK<K _M. That is so in many cases, for example it is true ifΩ is a rectangle, and in fact in that case smoothing decreases γ₀. In the present note, we show that the answer can also be negative. To that effect, we give an example of a convex domain Ω at which the valueK _M is achieved only at a single isolated point, and for which smoothing at that point changes existence to non-existence.