Treatment of vertex functions for physical pions and the callan-treiman relation

Summary

Starting from the Callan-Treiman relation between the K→πμν and K→μν amplitudes, we analyse the problem of the extrapolation from the soft-pion limit, where we have the prescription of current algebra, to the physical region for a general vertex function using a sum rule formulation. The simplest analyticity properties are those exhibited in the pion energy at fixed three-momentum. The corresponding dispersive path, in the plane of the squared pion mass and of the momentum transfer, is a parabola depending on the external variables. The advantages of choosing the parabola, of maximum curvature are discussed. We study in particular the case of K_ℓ3 decay and we find three possible independent sum rules, one of which represents a generalization of the Callan-Treiman result. The effect of a possible strange scalar meson is explicitly considered.

Riassunto

Partendo dalla relazione di Callan e Treiman fra le ampiezze di decadimento di K→πμν e K→μν si analizza il problema dell’estrapolazione dal limite di pioni molli, in cui si ha la predizione dell’algebra delle correnti, alla regione fisica per il caso generale di una funzione vertice mediante l’uso di regole di somma. Le più semplici proprietà di analiticità sono quelle che si hanno nell’energia del pione, a impulso spaziale fissato. Il corrispondente cammino dispersivo, nel piano della massa al quadrato del pione e dell’impulso trasferito, è una parabola che dipende dalle variabili esterne. Si discutono i vantaggi di scegliere la parabola di massima curvatura. In particolare si studia il caso del decadimento K_ℓ3 e si trovano tre regole di somma indipendenti, una delle quali rappresenta una generalizzazione del risultato di Callan e Treiman. Si considera esplicitamente l’effetto di un possibile mesone scalare strano.

Резюме

Исходя из соотношения Каллана-Треймана между K→πμν и K→μν амплитудами, мы анализируем проблему экстраполяции из предела мягких пионов, где мы имеем описание алгебры токов, на физическую область для общей вершинной функции, используя формулировку правила сумм. Наиболее простыми аналитическими свойствами являются свойства, проявляющиеся для энергий пионов при фиксированном трехмерном импульсе. Соответствющая дисперсионная часть, в плоскости квадрата пионной массы и передаваемого импульса, представляет параболу, зависящую от внешних переменных. Обсуждаются преимущецтва выбора параболы с максимальной кривизной. В частности, мы исследуем распад K_ℓ3 и находим три возможных независимых правила сумм, одно из которых представляет обобщение результата Каллана-Треймана. Аккуратно рассматривается влияние возможного странного скалярного мезона.