On the dimension of chiral and conformal symmetry breaking

Summary

We investigate the general consequences of Gell-Mann's decomposition of the energy density$\theta _{00} (x) = 0_{00}^* (x) + \sum\limits_n {\delta _n (x) + u(x)}$, whereu is theSU ₃×SU₃ breaking term transforming according to a$(3\bar 3) + (\bar 33)$ representation and being a Lorentz scalar of dimensiond. We show that there must be at least two terms among θ ^*₀₀ , δ _n with nonvanishing vacuum expectation values. If we further assume that there are only two such terms with dimensionsd' andd″ we can obtain a new sum rule involving the spectral functions of the propagators of θ ^μ_μ , ∂^μ A ^π_μ and ∂^μ A ^K_μ , which reads

$$\int {\rho \theta (\mu ^2 )\frac{{d\mu ^2 }}{{\mu ^2 }} = X\left[ {\frac{{r - 2}}{{2r}}} \right]} \int {\rho \pi (\mu ^2 )\frac{{d\mu ^2 }}{{\mu ^2 }}} + \frac{{r + 2}}{{r + 1}}\int {\rho _K (\mu ^2 )\frac{{d\mu ^2 }}{{\mu ^2 }}} $$

, where$r = - \tfrac{2}{3}(c + \sqrt 2 )/c$ andX=(d−d')(d″−d). Saturating with ρ, π, K, one finds, using an earlier result ong _ρππ,

$$\frac{{m_\sigma }}{{\Gamma _{\sigma \pi \pi } }} = \frac{{32\pi }}{{3m_\sigma ^4 }}X\left[ {\frac{{r - 2}}{{2r}}f_\pi ^2 m_\pi ^2 + \frac{{r + 2}}{{r + 1}}f_{\rm K}^2 m_{\rm K}^2 } \right]\left( {1 + [d - 2]\frac{{m_\pi ^2 }}{{m_\sigma ^2 }}} \right)^{ - 2} $$

. We use the experimental valuesm _ρ≈700 and Γ_σππ≈200 to estimateX in both the Gell-Mann-Oakes-Renner and the Brandt-PreparataSU ₃×SU₃ symmetry-breaking schemes. Unfortunately, for reasonabl]Literature values off _Kf_π our sum rule does not distinguish between these two schemes,e.g. forf _Kf_π=1.25, both schemes giveX≈3. Nevertheless, this typical value allows us to conclude that σ dominance is consistent with many models not involving operators of anomalously high dimensions and at the same time it allows us to exclude many other models.

Riassunto

Si esaminano le conseguenze della decomposizione di Gell-Mann della densità di energia$\theta _{00} (x) = 0_{00}^* (x) + \sum\limits_n {\delta _n (x) + u(x)}$, doveu è il termine di rottura diSU ₃×SU₃ che si trasforma secondo una rappresentazione$(3\bar 3) + (\bar 33)$ ed è uno scalare di Lorentz di dimensioned. Si dimostra che vi devono essere almeno due termini fra θ ^*₀₀ , δ _n con valori previsti del vuoto non nulli. Se si suppone inoltre che vi siano solo due di tali termini di dimensionid' ed″, si può ottenere una nuova regola di somma che interessa le funzini spettrali dei propagatori di θ ^μ_μ , ∂^μ A ^π_μ e ∂^μ A ^K_μ , del tipo:

$$\int {\rho \theta (\mu ^2 )\frac{{d\mu ^2 }}{{\mu ^2 }} = X\left[ {\frac{{r - 2}}{{2r}}} \right]} \int {\rho \pi (\mu ^2 )\frac{{d\mu ^2 }}{{\mu ^2 }}} + \frac{{r + 2}}{{r + 1}}\int {\rho _K (\mu ^2 )\frac{{d\mu ^2 }}{{\mu ^2 }}} $$

, con$r = - \tfrac{2}{3}(c + \sqrt 2 )/c$ eX=(d−d')(d″−d). Saturando con ρ, π, K, si trova, usando un risultato precedente perg _ρππ,

$$\frac{{m_\sigma }}{{\Gamma _{\sigma \pi \pi } }} = \frac{{32\pi }}{{3m_\sigma ^4 }}X\left[ {\frac{{r - 2}}{{2r}}f_\pi ^2 m_\pi ^2 + \frac{{r + 2}}{{r + 1}}f_{\rm K}^2 m_{\rm K}^2 } \right]\left( {1 + [d - 2]\frac{{m_\pi ^2 }}{{m_\sigma ^2 }}} \right)^{ - 2} $$

. Si usano i valori sperimentalim _σ≈700 e490-6 per valutareX in entrambi gli schemi della rottura di simmetriaSU ₃×SU₃ di Gell-Mann, Oakes e Renner e di Brandt e Preparata. Sfortunatamente per valori ragionevoli dif _Kf_π la regola di somma ottenuta non distingue fra i due schemi; per esempio, perf _Kf_π=1.25, entrambi gli schemi dannoX≈3. Nondimeno, questo valore tipico permette di concludere che il dominio di σ è consistente con molti modelli non interessanti operatori di dimensioni anormalmente alte ed allo stesso tempo permette di escludere molti altri modelli.

Резюме

Мы исследуем общие следствия разложения Гелл-Манна плотности энергии$\theta _{00} (x) = 0_{00}^* (x) + \sum\limits_n {\delta _n (x) + u(x)}$, гдеu представляет член, нарушающийSU ₃×SU₃, который преобразуется согласно представлению$(3\bar 3) + (\bar 33)$, и является лорентцевским скаляром размерностиd. Мы показываем, что должно быть, по крайней мере, два члена среди θ ^*₀₀ , δ _n с неисчезающими вакуумными ожидаемыми величинами. Если мы затем предположим, что существуют только два таких члена с размерностямиd' иd″, то мы можем получить новое правило сумм, включающее спектральные функции пропагаторов θ ^μ_μ , ∂^μ A ^π_μ и ∂^μ A ^K_μ , которое имеет вид

$$\int {\rho \theta (\mu ^2 )\frac{{d\mu ^2 }}{{\mu ^2 }} = X\left[ {\frac{{r - 2}}{{2r}}} \right]} \int {\rho \pi (\mu ^2 )\frac{{d\mu ^2 }}{{\mu ^2 }}} + \frac{{r + 2}}{{r + 1}}\int {\rho _K (\mu ^2 )\frac{{d\mu ^2 }}{{\mu ^2 }}} $$

, где$r = - \tfrac{2}{3}(c + \sqrt 2 )/c$ иX=(d−d')(d″−d). Используя предыдущий результат дляg _рпп, при насыщении с σ, п, К получается

$$\frac{{m_\sigma }}{{\Gamma _{\sigma \pi \pi } }} = \frac{{32\pi }}{{3m_\sigma ^4 }}X\left[ {\frac{{r - 2}}{{2r}}f_\pi ^2 m_\pi ^2 + \frac{{r + 2}}{{r + 1}}f_{\rm K}^2 m_{\rm K}^2 } \right]\left( {1 + [d - 2]\frac{{m_\pi ^2 }}{{m_\sigma ^2 }}} \right)^{ - 2} $$

. Мы используем экспериментальные значенияm _σ≈700 и Γ_σππ≈400, чтобы оценитьX в схеме нарушенияSU ₃×SU₃ симметрии Гелл-Манна, Оакса, Реннера и в схеме Брандта и Препараты. К сожалению, для соответствующих значенийf _kf_п наше правило сумм не дает различия между этими двумя схемами, те. дляf _Kf_π=1.25 обе схемы приводят кX≈3. Тем не менее, это типичное значение позволяет нам утверждать, что с доминантность согласуется с множеством моделей, не включающих операторы аномально высокой размерности, и в то же время позволяет нам исключить много других моделей.